数论-模运算与同余的性质

2024-05-12 22:07:49

数论-模运算与同余的性质

模运算

基础

取模运算：a % p（a mod p），表示a除以p的余数。

运算

1.模p加法：(a + b) % p = (a%p + b%p) % p

2.模p减法：(a - b) % p = (a%p - b%p) % p

3.模p乘法：(a * b) % p = ((a % p)*(b % p)) % p

4.幂模p ：(a^b) % p = ((a % p)^b) % p

5.模运算满足结合律、交换律和分配律。

同余的定义

a≡b (mod n) 表示a和b模n同余，即a和b除以n的余数相等。

同余的性质

1.反身性：a≡a (mod m)

2.对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)

3.传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)

4.同余式相加减：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)

5.同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)

证明

证明基础

对任意整数a，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=b*q+r，其中0≤r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。

部分证明

模p加法：

(a + b) % p = (a%p + b%p) % p

证明：a=wp+k,b=xp+y。(a+b)%p=((w+y)*p+(k+y))%p=0+(k+y)%p=(a%p+b%p)%p

模p乘法：

(a * b) % p = ((a % p)*(b % p)) % p

证明：a=wp+k,b=xp+y。ab%p=(wxp²+(kx+yw)p+ky)%p=0+0+ky%p=((a % p)*(b % p)) % p

关键字

模运算、同余的性质

%p=0+0+ky%p=((a % p)(b % p)) % p

关键字

模运算、同余的性质

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