着色问题（回溯算法）

着色问题是很经典的一个问题，就是地图上的着色，首先有一个图用颜色着色，着色的要求就是任何的一条边，它的两个顶点是不能够才用同一个颜色的，要采用不同的颜色，图是无向的连通图（从一个顶点可以到达另外一个顶点，不存在过不去的情况），这里面的每一条边将两个顶点连起来，这个时候找所有的着色方案。

一、问题描述

输入：无向连通图G和m 种颜色的集合用这些颜色给图的顶点着色，每个顶点一种颜色. 要求是：G 的每条边的两个顶点着不同颜色.

输出：所有可能的着色方案。如果不存在着色方案，回答“No”

二、实例

左边是有7个顶点的连通图，现在有三种颜色能将每个顶点涂上不同的颜色，第1个顶点涂成红色，第2个顶点涂成蓝色，……任何一条边两端的颜色都不一样，这就是一个着色方案。

n=7, m=3

三、解向量

回溯算法第一步就是研究解，这个解其实是一个向量，因为每个顶点都要着色，所以它是一个跟顶点个数相同的一个向量。

设G=(V,E)，V={1,2, … , n}

1、颜色编号：1, 2, … , m

2、解向量：

<x1,x2,...,xn>，x1,x2,…,xn∈1,2,..,m<x1, x2, ..., xn>， x1, x2, …, xn∈{1,2, .., m }<x1,x2,...,xn>，x1,x2,…,xn∈1,2,..,m
结点的部分向量<x1,x2,…,xk>x1,x2,…,xk,1≤k≤n，<x1, x2 , … , xk> x1, x2, …, xk, 1 ≤k ≤n，<x1,x2,…,xk>x1,x2,…,xk,1≤k≤n，
表示只给顶点1,2,…,k着色的部分方案

四、算法设计

1、搜索树：m叉树

向量的每一个分量上赋一种颜色编号，颜色编号的可选集合在m中去选择，编号每个分量的范围是1…m，要求的向量的长度是n，最后要求得的是m叉树，每个顶点可能有m中选择，这个顶点着完色以后就对它的下一个顶点进行着色，下一个顶点着色的时候，有m-1种选择，这样继续遍历，直到找到一条路径能够到达叶结点。

也就是说，对所有的顶点都找到一个着色的方案，达到最后找到一个路径，每个路径的顶点都找到一个着色的方案，每个路径的上面都有编号，把这些编号连接起来就是着色方案。

2、约束条件

在结点<x1, x2, … , xk>处，顶点k+1 的邻接表中结点已用过的颜色不能再用
如果邻接表中结点已用过m种颜色，则结点k+1没法着色，从该结点回溯到其父结点，满足多米诺性质

注：
在着色的时候需要记录这个点的邻接点，从上面往下遍历，一种可能：走到一个点和它相连的一些点很可能已经有颜色了（着过色了），着过色的这些点里面的颜色总数已经有m种了，那么对它而言没有办法再着色了

另外一种可能，前面和它相连的点已经有m-1种颜色，那这个点就只有一种选择。唯一的一种选择去放进去，再往下搜索观察和它相临的那些点的着色。

3、搜索策略

深度优先

4、时间复杂度

O(nmn)O(n m^n) O(nmn)

五、总结

在NP完全性角度，着色问题、装载问题是判定问题，0-1背包或者完全背包问题，装的总value达到最大越好，在活动的安排上，一个接一个，安排的最大的相容集，尽可能满足大部分人的需要，一些活动安排妥当，使得各个客户得到满足，一类问题是回答yes or no的问题，另外一类问题就是能不能找到最大的装入背包的物品的价值，能不能找到最大的安排的序列，满足最大的客户的需要，这是两种不同的回答，所有的优化问题是可以转化为判定问题的，

背包问题可以设定一系列的阈值，将阈值设定为100，有没有可能有一种装法让最终的总价值超过100，回答yes or no，超过了100有没有可能有一种装法让最终的总价值超过200，回答yes or no，超过了200有没有可能有一种装法让最终的总价值超过300，回答yes or no，…不停的设阈值，直到回答no，然后在把阈值向下减。最后只要回答yes or no，就能猜到心中的那个数，这种优化问题经过设置不同的阈值是可以装花城判定问题的。判定问题的输出只有0和1，回答yes or no。

研究单独的问题的时候，就像泛函中学的，从算法复杂性的角度来看，从问题角度哪些问题可以归为一类，然后再从更高层面来研究问题本身的属性，这就是NP的研究。