一、问题描述

已知由n（n≥2）个正整数构成的集合A={ak}（0≤k<n），将其划分为两个不相交的子集A1和A2，元素个数分别是n1和n2， A1和A2中元素之和分别为S1和S2。设计一个尽可能高效的划分算法，满足|n1-n2|最小且|S1-S2|最大。

二、实现思路

在划分算法中，集合A的元素都为正整数，则只需要找到中位数，以中位数为界，将小于中位数的部分归为一个集合，大于等于中位数包括中位数在内的归为另外一个集合。此时，|n1-n2|等于0（数组元素个数为奇数）或1（数组元素个数为偶数），且|S1-S2|最大。很简单的做法就是对数组进行排序，随后输出。但这样基于排序的时间复杂度至少是O(nlogn)（快速排序）。这里注意，由于只需要将数组分割，分割的集合不要求有序，所以只需找到这样一个元素（轴枢），它可以将数组一分为二：该元素之前的元素小于它，该元素之后的元素都大于等于它。如该元素的位置恰好是中央，则划分操作结束。
算法实现具体步骤为：

选择轴枢元素，进行一趟划分，得到轴枢元素的准确位置；
将轴枢元素位置和数组中央进行比较，如轴枢元素不位于中央，递归处理左（或右）半数组，直至所得元素位置恰好位于数组中央。

对 n+(1/2)n+(1/4)n+(1/8)n+…，取极限得到O(n)，则本算法时间复杂度为O(n)。空间复杂度为O(1)。

三、解题代码

#include <iostream>using namespace std;
#define MaxSize 20000/*一趟划分*/
int partition(int R[], int low, int high)
{int temp = R[low];   //以R[low]为基准while (low<high)      //从两端交替向中间扫描{while (low < high&&R[high] >= temp) //逆向查找首个小于枢轴的元素{high--;}R[low] = R[high];  //将小于枢轴的元素交换到低端while (low < high&&R[low] <= temp)//正向查找首个大于枢轴的元素{low++;}R[high] = R[low]; //将大于枢轴的元素交换到高端}R[low] = temp; //枢轴元素置于正确的位置return low;       //返回枢轴元素的位置
}/*查找n/2，数组以n/2排序，将序列分成[0...n/2)和[n/2...n)*/
void Divide(int arr[], int n)
{int low = 0, high = n - 1;int mid = -1;       //[0...mid) [mid...n)while (low < high){mid = partition(arr, low, high);if (mid == n / 2) //循环终止条件，当mid位于数组中央时break;else if (mid < n / 2) //在右半部分查找{low = mid + 1;}else //在左半部分查找 {high = mid - 1;}}}/*输出数组a[start...end]*/
void OutputArray(int a[], int start, int end)
{int i;for (i = start; i <= end - 1; i++){printf("%d ", a[i]);}printf("%d\n", a[i]);
}int main()
{int n = 0;int a[MaxSize];cout << "请输入由正整数构成的集合元素总数： ";cin >> n;cout << "请依次输入集合元素： ";for (int i = 0; i < n; i++){cin >> a[i];}Divide(a, n);cout << "\n划分子集A1：";OutputArray(a, 0, n / 2 - 1);cout << "        A2：";OutputArray(a, n / 2, n - 1);
}

四、运行结果

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整数集合划分且满足|n1-n2|最小且|S1-S2|最大

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二、实现思路

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