什么是球缺?球缺体积如何计算?计算公式?球缺应用:一半径为R的球沉入水中,球面顶部正好与水面相切,球的密度为1,求将球从水中取出所做的功?
目录
- 球缺的定义
- 计算方法
- 典型例题
球缺的定义
一个球被平面截下的一部分叫做球缺。截面叫做球缺的底面,垂直于截面的直径被截后被截下的线段长叫做球缺的高。
计算方法
对于计算立体的体积,我们有很多办法,比如定积分,二重积分,三重积分。在此我选用定积分来计算。
首先我们需要明确的是,球缺是需要我们指定的,球缺可以是上部分,也可以是下部分,取上部分为例子。
我们可以理解这个球体是由x=sqrt(r×r-z×z)绕着z轴旋转得到的,且(r-h<z<r),球缺高度为h。
因为我们变量为z,所以将x设为因变量。然后对z积分,即可求得结果。
当然这个也可以用简单的c语言实现输入球缺高度h,计算出体积!
想要的友友们评论区找我!
典型例题
比如说下面的例题就可以很好的使用这个球缺公式!
一半径为R的球沉入水中,球面顶部正好与水面相切,球的密度为1,求将球从水中取出所做的功。
解题思路:有两种解题思路,我将逐一介绍。
(1)此题目无非也就是求拉力做的功,我们不妨想一下水的密度为1,等于球体的密度,那么只要在水中的球体部分自身的重力会被浮力所抵消,我们所需要提供的拉力仅仅为露出水面部分的球体所受到的重力。而这部分重力又等于ρ×g×V。
设拉出水面h时水面以上部分球缺的体积为Vh,球缺体积公式为Vh=πh²(R-h/3)(我们前面所讲的球缺公式),只需对F拉在(0,2R)积分即可得到所做的功。
(2)将球体分为无数个片(设每部片高为dx),计算每部分上升所做的功再积分即可得到总功。
设球与水面切点为原点,X轴竖直向下,我们取x处一片高为dx的体积,根据微元化的思想,我们可以认为在dx内取得这一片体积是高度为dx的圆柱体,所以我们可以表示距原点x处的一片体积为V=π[R²-(R-x)²]dx,这部分重力G=π[R²-(R-x)²]gdx。
如果我们要想要将球完全提离水面,则每一片都要上拉2R的距离,但由于在水中上拉的时候,重力等于浮力,拉力不做功,直到这一小片体积脱离水面才开始做功。
所以它在空气中上升的距离即为做功的位移为2R-x,所以dw=(2R-x)π[R²-(R-x)²]gdx,对dw求积分即可得到所做的功。x的范围为(0,2R)。
如果有不对的地方,还望各位大佬指正!
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