排列组合相关知识及组合数与杨辉三角形的关系（初学者篇）
重要声明：此文面向初学者
真心推荐Typora，对于与我类似的markdown/LaTeX初学者尤其方便
进入正题：众所周知，杨辉三角形（也称“帕斯卡三角形”，后同）长这样↓
即每一项等于左上方的数加右上方的数的和
学编程的人一般看作这样↓
即每一项等于左上方的数与上方的数之和。
写个简单的递推式。
#include<stdio.h>
const int maxn=1e4+5;
int f[maxn],n;
int main(){scanf("%d",&n);f[1][1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)printf("%3d%c",f[i][j],j==i?'\n':' ');return 0;
}
杨辉三角长啥样都知道了，那它与组合数有啥关系呢？
关系：CnmC^m_nCnm的值等于杨辉三角形第n行第m个数
递推公式：Cnm=Cn−1m−1+Cn−1mC^m_n=C^{m-1}_{n-1}+C^{m}_{n-1}Cnm=Cn−1m−1+Cn−1m
关系可以由递推公式得到。
实际上这里才进入正题
我就是来证个递推公式的
公式特写（Typora）：
公式特写（Word）（感觉Word公式的效果好丑） ：
代码啥的统一放后面了（因为太长了，而且突然想起没讲这玩意↓）。
Cnm=n!m!(n−m)!C^m_n=\tfrac {n!}{m!\left(n-m\right)!} Cnm=m!(n−m)!n!
这个通项公式咋来的呢？
组合公式就是由排列公式去掉重复的部分得到的
Cnm=Anmm!C^m_n=\dfrac{A^m_n}{m!} Cnm=m!Anm
以下摘自百度百科并进行了LaTeX处理：
定义及公式
排列的定义：从nnn个不同元素中，任取mmm（m≤nm\le nm≤n，m,nm,nm,n均为自然数，下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从nnn个不同元素中取出mmm个元素的一个排列；从nnn个不同元素中取出m(m≤n)m\left(m\le n\right)m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从nnn个不同元素中取出mmm个元素的排列数，用符号AnmA^m_nAnm表示。
计算公式：Anm=n(n−1)(n−2)......(n−m+1)=n!(n−m)!A^m_n=n(n-1)(n-2)......(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}Anm=n(n−1)(n−2)......(n−m+1)=(n−m)!n!
此外规定0! = 1
组合的定义：从nnn个不同元素中，任取m(m≤n)m\left(m\le n\right)m(m≤n)个元素并成一组，叫做从nnn个不同元素中取出mmm个元素的一个组合；从nnn个不同元素中取出m(m≤n)m\left(m\le n\right)m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从nnn个不同元素中取出mmm个元素的组合数。用符号CnmC^m_nCnm表示。
计算公式：Cnm=Anmm!=n!m!(n−m)!;Cnm=Cnn−m.(n≥m)C^m_n=\dfrac{A^m_n}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!};C^m_n=C^{n-m}_n.(n\ge m)Cnm=m!Anm=m!(n−m)!n!;Cnm=Cnn−m.(n≥m)
笔者小计：Cnm=Cnn−mC^m_n=C^{n-m}_nCnm=Cnn−m应该属于性质公式。。。
符号：
C−CombinationC -CombinationC−Combination 组合数
A−ArrangementA -ArrangementA−Arrangement 排列数（在旧教材为P−PermutationP-PermutationP−Permutation）
N−NumberN -NumberN−Number 元素的总个数
M−M -M− 参与选择的元素个数
!−Factorial! - Factorial!−Factorial阶乘
个人认为排列组合数的定义和公式看完上述段落应该就会了。
关于排列组合数的性质这里就不再赘述（毕竟是初学者篇），请自行查询。
Markdown+LaTeX (Used Typora)：
CSDN似乎不支持\begin{align}，所以只能放个截图再加个代码了。。
Markdown+LaTeX代码：
$$
C^{m}_{n}=\tfrac {n!}{m!\left( n-m\right) !}\\
\begin{align}
&C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\\
=&\tfrac{\left(n-1\right)!}{(m-1)![n-1-(m-1)]!}+\tfrac{(n-1)!}{m!(n-1-m)!}\\
=&\tfrac{\left(n-1\right)!}{(m-1)!(n-m)!}+\tfrac{(n-1)!}{m!(n-1-m)!}\\
=&\tfrac{m\left(n-1\right)!}{m!(n-m)!}+\tfrac{(n-m)(n-1)!}{m!(n-m)!}\\
=&\tfrac{m\left(n-1\right)!+(n-m)(n-1)!}{m!(n-m)!}\\
=&\tfrac{m\left(n-1\right)!+n!-m(n-1)!}{m!(n-m)!}\\
=&\tfrac{n!}{m!(n-m)!}\\
=&C_n^m
\end{align}
$$
Word代码：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msubsup><mi>C</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>n</mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>m</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>!</mo><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo>)</mo></mrow><mo>!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mspace linebreak="newline" /><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"><mtr><mtd /><mtd><msubsup><mi>C</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>m</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>m</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>!</mo></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo>−<!-- − --></mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>!</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>!</mo></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>!</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mfrac><mrow><mi>m</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>!</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo>+</mo><mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>!</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mfrac><mrow><mi>m</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>!</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>!</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mfrac><mrow><mi>m</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>!</mo><mo>+</mo><mi>n</mi><mo>!</mo><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>!</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>!</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−<!-- − --></mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>m</mi></msubsup></mtd></mtr></mtable>
</math>
欢迎挑错。
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