题意

有7种魔法，每种aia_iai个，每次等概率随机放掉一个魔法（不是一种）。一个放魔法序列的权值等于其中长度为7且包含7个各不相同魔法的连续子序列个数。求期望权值。

∑ai≤109\sum a_i \le 10^9∑ai≤109

思路

看数据范围不像是正常的期望题。

找规律：首先可以发现前7个满足要求的概率是

f(1to7)=7!∗∏aiN−i+1f(1 \; to \; 7)=7! * \prod \frac{a_i}{N-i+1}f(1to7)=7!∗∏N−i+1ai

然后再看第2~8个：

枚举第1个为iii，那么后面那个iii的数量就需要-1，所以概率是

f(2to8)=∑j=177!∗(∏aiN−i+1)∗aj−1N−7f(2 \; to \; 8)=\sum_{j=1}^{7}7!*(\prod\frac{a_i}{N-i+1})*\frac{a_j-1}{N-7}f(2to8)=j=1∑77!∗(∏N−i+1ai)∗N−7aj−1

因为

∑j=17aj−1N−7=1\sum_{j=1}^{7}\frac{a_j-1}{N-7}=1j=1∑7N−7aj−1=1

所以

f(1to7)=f(2to8)f(1 \; to \; 7)=f(2 \; to \; 8)f(1to7)=f(2to8)

同理后面的都一样。

ans=(N−6)∗7!∗∏aiN−i+1ans = (N-6) * 7! * \prod \frac{a_i}{N-i+1}ans=(N−6)∗7!∗∏N−i+1ai

思维好题。

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