洛谷 P3802 小魔女帕琪【期望】

本题大意：共有7个数（1234567）第i个数有ai个，把所有sum(a1+a2+..+a7)个数随机出现时，求连续成功出现7个不同数字的期望次数，

分析：(分为二大部分）

第一大部分：求期望

记：

$s=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$

题目要求出现的共s个数中连续出现1－7的不同数字，则有可能是：

在第1个－第7个时出现1次，

或者在第2－第8个时出现1次，

或者在第3－第9个时出现1次，

或者在第4－第10个时出现1次，

或者在第5－第11个时出现1次，

……

或者在第s-6至第s个时出现1次。

上述情况共s-6种

定义随机变量X：在1－S个数随机出现时，发生连续出现1－7的事件

则X1{1－7}＝1表示在第1个－第7个时出现1次

X2{2－8}=1表示在第2个－第8个时出现1次

依次类推

Xs-6{s-6-s}=1表示在第s-6至第s个时出现1次

根据离散型随机变量期望的定义：离散型随机变量的一切可能的取值与对应的概率乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望

E(X)=X1*P(X1)+X2*P(X2)+...+Xs-6*P(Xs-6)＝P（X1）+P（X2）+...+P（Xs-6）

第二大部分：求概率

现在来看P（Xi）怎么计算

可以分析得到X1、X2、……、Xi相互独立

所以P(X1)=P(X2)=...=P(Xi)

为什么？

我们先想一个问题：一个盒子里面有1个红球和9个白球，10个人到盒子里面抽，那么顺序不一样的话，是公平的吗？？

当然...是了

第一个人抽中的概率是 $\frac {1}{10}$ 第二个人抽中的概率是 $\frac {9}{10}*\frac{1}{9}$ 第三个人抽中的概率是 $\frac {9}{10} \times \frac {8}{9} \times \frac {1}{8}$ ...

也即是应该用条件概率来解释

设Ai表示第i个人抽中 $P(\bar{A1}A2)=P(A2|\bar{A_1})*P(\bar{A_1})$

接下来就只用考虑P（Xi）怎么求了

设事件A表示触发了一次七重奏，则事件A可分步进行，其分步事件及其概率如下：

设事件A1表示释放出第1种魔法，则成功的概率为 $C_{7}^{1}*\frac{a_1}{s}$ 前面的 $C_{7}^{1}$ 表示是7种魔法中选出一种。

设事件A2表示释放出第2种魔法，则成功的概率为 $C_{6}^{1}*\frac{a_2}{s-1}$ （减1是因为事件A1中已经释放了1个魔法）

...

设事件Ai表示释放出第i种魔法，则成功的概率为 $C_{n-i+1}^{1}*\frac{a_i}{s-(i-1)}$ （减i-1是因为事件A1中已经释放了i-1个魔法）

……

设事件A7表示释放出第7种魔法，则成功的概率为 $C_{1}^{1}*\frac{a_7}{s-6}$ （减6是因为事件A1-A6中已经释放了6个魔法）

则事件A发生的概率为

$P(A)=C_{7}^{1}\frac{a_1}{s}*C_{6}^{1}\frac{a_2}{s-1}*C_{5}^{1}\frac{a_3}{s-2}*C_{4}^{1}\frac{a_4}{s-3}*C_{3}^{1}\frac{a_5}{s-4}*C_{2}^{1}\frac{a_6}{s-5}*C_{1}^{1}\frac{a_7}{s-6}$

即为：

$P(A)=7!*\frac{a_1}{s}*\frac{a_2}{s-1}*\frac{a_3}{s-2}*\frac{a_4}{s-3}*\frac{a_5}{s-4}*\frac{a_6}{s-5}*\frac{a_7}{s-6}$

你可能会问A1事件的概率计算怎么一定就会是第1种魔法的数量a1呢？

解释：

假设A1－A7释放的魔法种类顺序是2134567那么

$P^{'}(A)=C_{7}^{1}\frac{a_2}{s}*C_{6}^{1}\frac{a_1}{s-1}*C_{5}^{1}\frac{a_3}{s-2}*C_{4}^{1}\frac{a_4}{s-3}*C_{3}^{1}\frac{a_5}{s-4}*C_{2}^{1}\frac{a_6}{s-5}*C_{1}^{1}\frac{a_7}{s-6}$

明显 $P^{'}(A)=P(A)$ ，所以就算施法顺序不同，但是概率总是一样的。

所以我们前7次释放不考虑顺序的概率为：

$P(A)=7!*\frac{a_1*a_2*a_3*a_4*a_5*a_6*a_7}{s*(s-1)*(s-2)*(s-3)*(s-4)*(s-5)*(s-6)}$

因为P(Xi)=P(A)

所以

$E(X)=7!*(s-6)*P(A)=7!*(s-6)*\frac{a_1*a_2*a_3*a_4*a_5*a_6*a_7}{s*(s-1)*(s-2)*(s-3)*(s-4)*(s-5)*(s-6)}$

$E(X)=7!*\frac{\prod _{i=1}^{7}a_i }{\prod_{i=1}^{6}(s-i+1)}=7*a_7*\prod_{i=1}^{6}\frac{i*a_i}{s-i+1}$

一个循环搞定