线性代数02 线性方程组的解的情况（矩阵的秩）

2024-04-01 22:54:31

在01中，我们提到出了一个问题：关于线性方程组的解是否可以根据消元过程中的结构来探究?
博主给出了答案是可以的，那么具体的情况是如何呢？我们先来明确几个概念：

1 主元与矩阵的秩

上一节01，我们提到了关于主元的概念，就是在阶梯矩阵中的非零行中，第一个不为零的数。那么很简单能够知道，主元的个数=非零行的数量。如此一来。我们可以从主元出发，得到一个新的概念：矩阵的秩（Rank）=主元的数量=非零行的数量。

2 矩阵的秩与线性方程组的解的情况

对于线性方程组的解，我们已经明确只有三种情况，因此不妨分情况讨论：

（1）唯一解
唯一解的情况非常好理解，就是每个变量均有唯一值，在高斯-诺尔当消元法中，对应的情况就是，增广矩阵中的系数矩阵A可以化简为单位矩阵：
实例如下：

可以看到，若矩阵的秩R==原线性方程组变量的个数（也是增广矩阵的列数）n，那么此时线性方程组有唯一解。

（2）无解
根据上一节中，无解的实例ex1，我们可以看到，若存在任意行有0=d（常数项）。那么线性方程组无解。因此这种情况，就无需看矩阵的秩与n的关系，可以直接通过是否存在“0=d”方程来判断。

（3）无穷多解
根据上一节中，无穷多解的实例ex2，可以很容易的发现。若矩阵的秩R<n，就一定有自由变量F的存在。
这里解释一下自由变量F：不是主元的变量就称作自由变量。
思考：为什么R<n,就一定存在自由变量？
因为有一行全为0，那么就一定存在主元的数量<变量的数量。

因此，结论是：若存在矩阵的秩R<n，那么线性方程组一定有无穷多解。

3 总结

（1）矩阵的秩R<n，那么线性方程组一定有无穷多解
（2）若存在任意行有0=d（常数项）。那么线性方程组无解。
（3）矩阵的秩R==原线性方程组变量的个数（也是增广矩阵的列数）n，那么此时线性方程组有唯一解。

在这篇博文中，主要介绍了矩阵的秩的概念，并且将矩阵的秩与线性方程组的解的情况联系了起来。在下一章节，我想从n阶矩阵的行列式来关联到含有n个线性方程，n个变量的线性方程组的解的情况的说明，并且根据齐次线性方程组与非齐次线性方程组的不同来撰写。

概念

单位矩阵
矩阵的秩
主元

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