1.不定积分

1.定义

定义1 如果在区间III上，可导函数F(x)F(x)F(x)的导函数为f(x)f(x)f(x)，即对任一x∈Ix\in Ix∈I都有
F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dxF'\left( x \right) =f\left( x \right) \text{或}dF\left( x \right) =f\left( x \right) dx F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx那么函数F(x)F(x)F(x)称为f(x)f(x)f(x)（或f(x)dxf(x)dxf(x)dx）在区间III上的一个原函数.

定义2 在区间III上，函数f(x)f(x)f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)f(x)f(x)（或f(x)dxf(x)dxf(x)dx）在区间III上的不定积分，记作
∫f(x)dx\int{f\left( x \right) dx} ∫f(x)dx
其中记号∫\int{}∫称为积分号，f(x)f(x)f(x)称为被积函数，f(x)dxf(x)dxf(x)dx称为被积表达式，xxx称为积分变量.
由此定义及钱买你的说明可知，如果F(x)F(x)F(x)是f(x)f(x)f(x)在区间区间III上的一个原函数，那么F(x)+CF(x)+CF(x)+C就是f(x)f(x)f(x)的不定积分，即
∫f(x)dx=F(x)+C\int{f\left( x \right) dx=F\left( x \right) +C} ∫f(x)dx=F(x)+C

2.换元法

第一类换元法

定理1 设f(u)f(u)f(u)具有原函数，u=φ(x)u=\varphi \left( x \right)u=φ(x)可导，则有换元公式
∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)\int{f\left[ \varphi \left( x \right) \right] \varphi '\left( x \right) dx=\left[ \int{f\left( u \right) du} \right] _{u=\varphi \left( x \right)}} ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)

第二类换元法

定理2 设x=ψ(t)x=\psi \left( t \right)x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ′(t)≠0\psi '\left( t \right) \ne 0ψ′(t)=0.又设f[ψ(t)]ψ′(t)f\left[ \psi \left( t \right) \right] \psi '\left( t \right)f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数，则有换元公式
∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)\int{f\left( x \right) dx=}\left[ \int{f\left[ \psi \left( t \right) \right] \psi '\left( t \right) dt} \right] _{t=\psi ^{-1}\left( x \right)} ∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)其中ψ−1(x)\psi ^{-1}\left( x \right)ψ−1(x)是x=ψ(t)x=\psi \left( t \right)x=ψ(t)的反函数.

3.分部积分法

∫udv=uv−∫vdu\int{u\text{d}v}=uv-\int{v\text{d}u} ∫udv=uv−∫vdu

4.常用函数的积分公式

(1)∫kdx=kx+C\left( 1 \right) \int{k\text{d}x}=kx+C (1)∫kdx=kx+C
(2)∫xμdx=xμ+1μ+1+C(μ≠1)∫1xdx=2x+C\left( 2 \right) \int{x^{\mu}\text{d}x}=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C\left( \mu \ne 1 \right) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}=2\sqrt{x}+C (2)∫xμdx=μ+1xμ+1+C(μ=1)∫x1dx=2x+C
(3)∫1xdx=ln⁡∣x∣+C∫1x2dx=−1x+C\left( 3 \right) \int{\frac{1}{x}\text{d}x}=\ln \left| x \right|+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\frac{1}{x^2}\text{d}x}=-\frac{1}{x}+C (3)∫x1dx=ln∣x∣+C∫x21dx=−x1+C
(4)∫axdx=axln⁡a+C∫exdx=ex+C\left( 4 \right) \int{a^x\text{d}x}=\frac{a^x}{\ln a}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{e^x\text{d}x}=e^x+C (4)∫axdx=lnaax+C∫exdx=ex+C
(4)∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\left( 4 \right) \int{\sin x\text{d}x}=-\cos x+C\ \ \ \ \ \ \int{\cos x\text{d}x}=\sin x+C (4)∫sinxdx=−cosx+C ∫cosxdx=sinx+C
(5)∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\left( 5 \right) \int{\tan x\text{d}x}=-\ln \left| \cos x \right|+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\cot x\text{d}x}=\ln \left| \sin x \right|+C (5)∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C
(6)∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\left( 6 \right) \int{\sec x\text{d}x}=\ln \left| \sec x+\tan x \right|+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\csc x\text{d}x}=\ln \left| \csc x-\cot x \right|+C (6)∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C
(7)∫1cos⁡2xdx=∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C∫1sin⁡2xdx=∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\left( 7 \right) \int{\frac{1}{\cos ^2x}\text{d}x}=\int{\sec ^2x\text{d}x}=\tan x+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\frac{1}{\sin ^2x}\text{d}x}=\int{\csc ^2x\text{d}x}=-\cot x+C (7)∫cos2x1dx=∫sec2xdx=tanx+C∫sin2x1dx=∫csc2xdx=−cotx+C
(8)∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C\left( 8 \right) \int{\sec x\tan x\text{d}x}=\sec x+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\csc x\cot x\text{d}x}=-\csc x+C\, (8)∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=−cscx+C
(9)∫1a2+x2dx=1aarctan⁡xa+C∫11+x2dx=arctan⁡x+C\left( 9 \right) \int{\frac{1}{a^2+x^2}\text{d}x}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\frac{1}{1+x^2}\text{d}x}=\arctan x+C (9)∫a2+x21dx=a1arctanax+C∫1+x21dx=arctanx+C
(10)∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C∫11−x2dx=arcsin⁡x+C\left( 10 \right) \int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\text{d}x}=\arcsin \frac{x}{a}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}=\arcsin x+C (10)∫a2−x21dx=arcsinax+C∫1−x21dx=arcsinx+C
(11)∫1x2−a2dx=12aln⁡∣x−ax+a∣+C\left( 11 \right) \int{\frac{1}{x^2-a^2}\text{d}x}=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C (11)∫x2−a21dx=2a1ln∣∣∣∣x+ax−a∣∣∣∣+C
(12)∫1x2+a2dx=ln⁡(x+x2+a2)+C\left( 12 \right) \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\text{d}x}=\ln \left( x+\sqrt{x^2+a^2} \right) +C (12)∫x2+a21dx=ln(x+x2+a2)+C
(13)∫1x2−a2dx=ln⁡(x+x2a2)+C\left( 13 \right) \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\text{d}x}=\ln \left( x+\sqrt{x^2a^2} \right) +C (13)∫x2−a21dx=ln(x+x2a2)+C
(14)∫a2−x2dx=a22arcsin⁡xa+12xa2−x2+C\left( 14 \right) \int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C (14)∫a2−x2dx=2a2arcsinax+21xa2−x2+C

2.定积分

1.定义

函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b]\left[ a,b \right][a,b]上的定积分
∫abf(x)dx=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi\int_a^b{f\left( x \right)}dx=\underset{\lambda \rightarrow 0}{\lim}\sum_{i=1}^n{f\left( \xi _i \right)}\varDelta x_i ∫abf(x)dx=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi其中λ=max⁡{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}\lambda =\max \left\{ \varDelta x_1,\varDelta x_2,\cdots ,\varDelta x_n \right\}λ=max{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}且极限值与区间[a,b]\left[ a,b \right][a,b]的分法及点ξi\xi _iξi的取法无关.

2.牛顿-莱布尼茨公式

定理（微积分基本定理）如果函数F(x)F(x)F(x)是连续函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b]\left[ a,b \right][a,b]上的一个原函数，那么
∫abF′(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b{F'\left( x \right) \text{d}x}=F\left( b \right) -F\left( a \right) ∫abF′(x)dx=F(b)−F(a)
注：换元法和分布积分法在定积分仍然适用，换元需注意新元的取值范围.

3.作业

【微积分】2.2一元函数积分相关推荐

高等数学复习笔记（五）-一元函数积分的计算
本节为高等数学复习笔记的第五部分,一元函数积分的计算,主要包括: 四大积分基本法即凑微分法.换元法(第一类和第二类).分部积分法以及有理函数积分法. 1. 凑微分法 1.1 基本导数公式(反过来用) ...
math@一元函数积分@换元法
文章目录 math@一元函数积分@换元法第一换元法例第二换元法例 math@一元函数积分@换元法第一换元法设被积函数 g ( x ) = f ( u ) ; u = ϕ ( x ) g( ...
c++一元稀疏多项式计算器_武忠祥真题班归纳（更新至一元函数积分未完）
哇,咱们公众号有100个小伙伴了,大家冲冲冲! 温馨提示据说,李永乐复习全书每道题都滚瓜烂熟,可以有120的潜力.那么,我们一定要加油掌握每一道题呀. 学习目标: 掌握知识点掌握解题方法做题,做 ...
微积分小课堂：积分(从微观趋势了解宏观变化）
文章目录引言 I. 预备知识: 积分效应 1.1 闯黄灯 1.2 公司利润(飞轮效应) 1.3 飞轮效应 II 积分 2.1 积分的计算 2.2 积分思想的本质引言微分解决的问题是从宏观变化了解 ...
（1/300）一元函数积分的基本积分公式
我准备坚持发表三百个贴子,每日一贴.每个贴子记录当天的学习笔记.万事开头难,我先从简单的地方开个头.欢迎指正和交流啊. 换元积分法: ***第一换元法:**所谓第一换元法其实就是在凑微分.如果du=Ψ ...
[note] 微积分 Part 8 曲面积分与公式集锦：Green，Gauss，Stokes
第一型曲面积分直径直径趋于零则面积一定趋于零但面积趋于零,有可能出现长条的情况,不满足密度近似均匀和形体近似平面定义分(割极细,以至于密度和形体在面元内部均)匀(,随后求)和(,在这种切分下 ...
c语言加速度积分得到速度_自编微积分教材-第一章微积分漫谈（1）
前言:儿子的学习,包括数学和科学.英语,一直是由学外语出身的老婆在辅导,今年初一暑假,7月初,儿子考上了深国交,看到A Level数学的课程,明年的数学课本就有微积分的内容了.我觉得很多微积分的课本, ...
matlab计算微分ppt,matlab-ch013(数值计算-微积分)20090923.ppt
matlab-ch013(数值计算-微积分)20090923.ppt 第13讲数值计算 -微积分,张建瓴,§13.1 数值积分,在工程教学和应用中,除了进行数据逼近外,还要求逼近曲线下面的面积,这就 ...
机器学习必会技能之微积分【一文到底】
机器学习必会技能 -- 微积分[一文到底] 文章目录机器学习必会技能 -- 微积分[一文到底] 1 微积分的四类问题 2 深入理解导数的本质 3 深入理解复合函数求导 4 理解多元函数偏导 5 梯度 ...
二元函数对xy同时求导_微积分-7.关于三角函数、极坐标系与参数方程
到目前为止,我们都只讨论了平面直角坐标系下的函数. 我们知道,牛顿切入微积分的角度,是为了研究现实世界中的物理运动.假如把函数看作是点随着时间的运动轨迹,可以发现,平面直角坐标系,更易于描述平移类 ...

【微积分】2.2一元函数积分

一元函数积分

1.不定积分

1.定义

2.换元法

第一类换元法

第二类换元法

3.分部积分法

4.常用函数的积分公式

2.定积分

1.定义

2.牛顿-莱布尼茨公式

3.作业

【微积分】2.2一元函数积分相关推荐

最新文章

热门文章