math@一元函数积分@换元法

第一换元法

设
- 被积函数 g ( x ) = f ( u ) ; u = ϕ ( x ) g(x)=f(u);u=\phi(x) g(x)=f(u);u=ϕ(x)
- f ( u ) f(u) f(u)连续, ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)具有连续的一阶导数 ϕ ′ ( x ) \phi'(x) ϕ′(x),则
- S = ∫ g ( x ) d x = ∫ f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) d x = ∫ f ( ϕ ( x ) ) d ( ϕ ( x ) ) 令 ϕ ( x ) = u S = ∫ f ( u ) d u S=\int{g(x)}dx=\int{f(\phi(x))}\phi'(x)dx=\int{f(\phi(x))}d(\phi(x)) \\令\phi(x)=u \\S=\int{f(u)}du S=∫g(x)dx=∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx=∫f(ϕ(x))d(ϕ(x))令ϕ(x)=uS=∫f(u)du
  - 设被积分函数 g ( x ) = f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) g(x)=f(\phi(x))\phi'(x) g(x)=f(ϕ(x))ϕ′(x)
    - 即被积函数可以凑成某个复合函数 f ( ϕ ( x ) ) f(\phi(x)) f(ϕ(x))和 ϕ ′ ( x ) \phi'(x) ϕ′(x)的乘积
  - 且,如果 ∫ f ( u ) d u \int{f(u)du} ∫f(u)du容易求(积分公式表中有),那么第一换元法往往很有效
    - 选择合适的 u = ϕ ( x ) u=\phi(x) u=ϕ(x),并且凑成 g ( x ) = f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) g(x)=f(\phi(x))\phi'(x) g(x)=f(ϕ(x))ϕ′(x)是关键
    - u = ϕ ( x ) u=\phi(x) u=ϕ(x)往往是一个幂函数

例

S = ∫ 1 1 + x d x = ∫ 1 1 + x d ( 1 + x ) 令 u = 1 + x S = ∫ 1 u d u = ln ⁡ ∣ u ∣ + C = ln ⁡ ∣ 1 + x ∣ + C S=\int{\frac{1}{1+x}}d{x}=\int{\frac{1}{1+x}d(1+x)} \\令u=1+x \\ S=\int{\frac{1}{u}}du=\ln{|u|}+C=\ln{|1+x|}+C S=∫1+x1dx=∫1+x1d(1+x)令u=1+xS=∫u1du=ln∣u∣+C=ln∣1+x∣+C
∫ e 2 x d x = ∫ e 2 x 1 2 d ( 2 x ) = 1 2 ∫ e 2 x d ( 2 x ) = 1 2 e 2 x + C ( u = 2 x ) \int{e^{2x}}dx=\int{e^{2x}}\frac{1}{2}d(2x)=\frac{1}{2}\int{e^{2x}}d(2x) =\frac{1}{2}e^{2x}+C \\(u=2x) ∫e2xdx=∫e2x21d(2x)=21∫e2xd(2x)=21e2x+C(u=2x)
容易通过求导验证上述结果的正确性

第二换元法

设 f ( x ) f(x) f(x)连续;
x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)具有连续倒数 ϕ ′ ( t ) \phi'(t) ϕ′(t)
ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)单调( ϕ ′ ( t ) ≠ 0 \phi'(t)\neq{0} ϕ′(t)=0)
- 则
  ∫ f ( x ) d x = x = ϕ ( t ) ( ∫ ϕ ( t ) ϕ ′ ( t ) d t ) t = ψ ( x ) = ϕ − 1 ( x ) \int{f(x)}d{x}\xlongequal{x=\phi(t)}\left(\int\phi(t)\phi'(t)dt\right)_{t=\psi(x)=\phi^{-1}(x)} ∫f(x)dxx=ϕ(t) (∫ϕ(t)ϕ′(t)dt)t=ψ(x)=ϕ−1(x)
- 其中 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)可能不容易看出
  - 往往通过寻找 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)的反函数 t = ψ ( x ) = ϕ − 1 ( x ) t=\psi(x)=\phi^{-1}(x) t=ψ(x)=ϕ−1(x)
  - 再从 t = ψ ( x ) = ϕ − 1 ( x ) t=\psi(x)=\phi^{-1}(x) t=ψ(x)=ϕ−1(x)计算出 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)
- 如果 ∫ ϕ ( t ) ϕ ′ ( t ) d t \int\phi(t)\phi'(t)dt ∫ϕ(t)ϕ′(t)dt是容易计算的,那么第二换元法往往有效
第二还原法比较适用于难以凑微分的情况下
- 例如,被函数 f ( x ) f(x) f(x)中含有根式

例

S = ∫ x − 1 x d x 令 t = ψ ( x ) = x − 1 x = ϕ ( x ) = t 2 + 1 d x = d ( ϕ ( t ) ) = d ( t 2 + 1 ) = 2 t d t S = ∫ t t 2 + 1 2 t d t = 2 ∫ t 2 t 2 + 1 d t = 2 ∫ ( 1 − 1 t 2 + 1 ) d t = 2 ( t − arctan ⁡ t ) + C 回代 t = ψ ( x ) = x − 1 S = 2 ( x − 1 − arctan ⁡ x − 1 ) + C S=\int\frac{\sqrt{x-1}}{x}dx \\令t=\psi(x)=\sqrt{x-1} \\x=\phi(x)=t^2+1 \\dx=d(\phi(t))=d(t^2+1)=2tdt \\ S=\int\frac{t}{t^2+1}2tdt =2\int\frac{t^2}{t^2+1}dt=2\int(1-\frac{1}{t^2+1})dt \\ =2(t-\arctan{t})+C \\回代t=\psi(x)=\sqrt{x-1} \\S=2(\sqrt{x-1}-\arctan{\sqrt{x-1}})+C S=∫xx−1 dx令t=ψ(x)=x−1 x=ϕ(x)=t2+1dx=d(ϕ(t))=d(t2+1)=2tdtS=∫t2+1t2tdt=2∫t2+1t2dt=2∫(1−t2+11)dt=2(t−arctant)+C回代t=ψ(x)=x−1 S=2(x−1 −arctanx−1 )+C

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例

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