cv曲线面积的意义_浅谈圆锥曲线中的高级技巧

前言

读本文前，你应该有基本的圆锥曲线知识，能够应对中等难度的题目；能够熟练运用韦达定理等传统方法解题；且有一定的数学功底。阅读本文后，你可以尝试自己推导所有结论，并形成较为系统的笔记，方便以后复习。

强烈推荐GeoGebra这款数学绘图软件。本文所有图片均由GeoGebra绘制。

极坐标

PS：写这篇文章的时候我还没学极坐标和参数方程，所以难免有不太规范的地方（比如

我全都写成了

），请多多包涵。

极坐标下，若把圆锥曲线的焦点放在极点，则圆锥曲线的统一方程为：

下面以椭圆为例（抛物线、双曲线类似）：

正负号对于曲线位置的影响

可以看出，此处的正负号并不影响圆锥曲线的形状，只影响圆锥曲线的位置。

推导：

构造几何关系

如图，设椭圆

上任意一点

。作出左准线

，过点

作准线的垂线交左准线于点

，则有：

又由圆锥曲线第二定义可知：

若右焦点在极点，则推导时用右准线即可。

应用

1) 极坐标下的焦半径公式

焦半径即极坐标方程中的

。也就是说，如果用“辐角”来代替极坐标方程中的极角

，有：

更新：有朋友在评论区问

为什么会和下图中的

相关，很抱歉我之前的描述产生了歧义。这里

的公式是指用

（同样是逆时针旋转所成角）代入计算，并不是关于

的公式。如果知道

要算

，不如直接用

来算。

画了个比较刁钻的图

注意，这里

指的是

轴正半轴绕原点以顺时针方向旋转至与

方向相同时转过的最小正角（类似辐角），而非倾斜角，原因是在上图这种刁钻情况下，

的倾斜角

和辐角

相差了

，而我们知道

，因此如果使用

倾斜角代替极角，那么公式中的那个正负号就需要反号。对于双曲线，由于双曲线有两支，因此对于左焦点

左支弦、左焦点

右支弦等，公式都是不一样的。所以在使用上述公式的时候必须要考虑清楚自己究竟是用了哪个角来代替极角

，如果实在不清楚就现场推导一下为好。

2) 倾斜角表示焦点弦长

拿左焦点弦为例，设左焦点弦所在直线倾斜角为

，那么以

为极点，

两点的极坐标分别为

。由

三点共线得

，代入焦点弦长公式，即：

注意是用倾斜角代替极角

由于

具有对偶性，因此该公式左右焦点弦通用。

双曲线的焦点弦比较复杂：

也就是两支弦

上图便出现了

这种情况，所以一定要具体情况具体分析，切忌死记公式：一来真的难背，二来容易背错（我自己就记不完双曲线的结论，都是现推现用）。

抛物线中，由于离心率

，因此抛物线的焦点弦长又可以表示为

。

运用极坐标下的抛物线焦点弦长公式，如图所示的

面积，可以表示为：

而

，也就是说只要知道了焦点弦斜率就可以使用这个公式。这当然比用韦达定理的计算量少得多。

中心在极点时的极坐标方程

不过有些时候，把焦点放在极点仍然不太方便，就可以直接把中心（直角坐标系中的原点）放在极点。

推导

设椭圆

上任意一点

。如果用直角坐标系的坐标来表示，

。由椭圆方程

，把

的坐标代回方程可得：

整理可得：

上述方程的图像

如果用

来代替

，则可得：

这两个方程表示的是同一个椭圆。双曲线与椭圆类似。

而对于抛物线，由于其方程为

，代入后可得：

应用

你应该还记得这道题：

抛物线

，证明

上存在两点

使得

为以

为直角顶点的等腰直角三角形。

当时你是怎么做的呢？我反正是设

，暴解出

点坐标

；此后有

，可利用韦达定理暴解出

点坐标

。然后构造一个

字形全等，推出

，利用这个式子获得一个方程

，最后利用零点存在定理证得

在

有解。

这实在有些麻烦，不仅要暴解两个点的坐标，还要构造一个全等，证明过程书写量极大。而如果我们使用中心在极点的抛物线极坐标方程来证明这道题，事情会简单得多：

设

倾斜角为

。则

与

轴的夹角

，其极角为

。

由抛物线方程

可得：

，

为等腰直角三角形

。

利用三角恒等变换化简上述等式，可得：

我现在需要证明

在

存在零点，

所以得证。

有没有感觉计算量、书写量都少了许多呢？

向量叉乘（外积）

叉乘是一种巧算三角形面积

平行四边形面积的好方法。它本是一种复杂的运算法则，其结果为垂直于原平面的一个新向量，物理的电磁学中很多东西（洛伦兹力等）都跟它有关；然而作为一个普通的高中生，我们只需要熟悉它作为面积计算工具的功能即可。如果已知

的坐标，需要计算

，那么就可以直接使用叉乘进行计算，而不用经历设直线、代入距离公式等繁琐操作。

运算规则

设两向量

。则以

为邻边的

平行四边形面积为：

证明

此处只给出暴力证法。

设

的起点都在原点

处，则

所在直线方程为

，化简即

。由点到直线距离公式，

的终点到直线

的距离

为

。又

，则有：

也就是说，平面中的叉乘公式为：

注意上式中的两个

意义不同，等号左边表示

向量的模，右边表示绝对值。

计算三角形面积

很容易想到，把上面的

乘个

就得到了三角形面积。即：

应用

假设有一道圆锥曲线大题，你通过暴算的方法获知了三个点的坐标，现在需要求出三点围成的三角形面积的最值。传统方法是设出直线，利用各种距离公式暴算。但有了叉乘这个工具之后，只需要用两点坐标相减的方法随便求出两个向量，然后直接叉乘即可算出表达式。由于这两种方法本质相同（叉乘仅仅是简化了中间运算过程），因此得到的表达式一定是一致的，这也就意味着叉乘过程中将会出现大量的约分、抵消，为运算带来愉悦感。

此种方法甚至适用于计算这种异形四边形的面积：

其实当时做这道题的我是绝望的

传统方法是切割为两个三角形，分别计算后相加。这种方法虽然容易想到，但其计算量与书写量非常大。如果使用叉乘工具，可以这样进行计算：

倍增面积

首先将多边形补全为一个平行四边形，为使用叉乘作准备。

画出需要叉乘的两个向量

现在需要考虑的是如何计算出

两个向量。设

，

所在直线为

。我们可以联立

与

的方程，由弦长公式得：

然后取

的一个方向向量

。我现在要做的事情，是把

放缩为

，以供叉乘使用。此时使用向量的数乘来进行放缩：

这样就可以简便地算出

的坐标；同理可得

的坐标。因此，原四边形的面积就可以表示为：

上面所述的方法仅在最后一步中有较大的字母运算量。不过正如上文提到的，叉乘仅仅简化了运算过程，最后的这部分运算是获得答案的必经之路，没有哪个方法能够将这个过程简化掉。所以，叉乘的计算量会比一般的方法少很多（关键是更好写，更装逼），除非你把向量的坐标算错了。

（更新）参数方程下的转换工具

实际上，叉乘还可以作为把表达式转化为三角函数的工具。比如下面这个例子：

是椭圆

上的任意两点，求出它们与原点构成的三角形

的最大值。

我们可以设

，则：

然后呢？似乎无法继续了。

实际上，我们可以使用椭圆的一种参数方程，把这道题转换为简单的三角函数求最值问题。参数方程如下：

所以重新设

，则：

非常明显有：

这也可以算作一个小结论。

优雅的暴力：暴解方程

如果你发现你需要解一个高次方程，并且你确定自己的方程是正确的，那么就可以用暴力的方法，获得方程的有理解（除非万不得已，不推荐主动使用）。

有理根定理

对于一个多项式函数

，若最简分数

是

的根，那么一定满足：

是

的因数，

是

的因数（包括

正负因数）。

证明

涉及到部分数论知识。我之前学过信竞，所以对此略有了解。若阅读起来有困难，就跳过证明，直接当结论记吧；反正这个定理还是比较简单的。

设最简分数

是

的根，即：

两边同时乘以

，可得：

等式两边同时对

各取一次模，得到以下两个式子：

由于题设

是最简分数，所以我们知道

。因此，由上述二式可知：

是最高次项系数

的因数，

是常数项

的因数。

应用

最简单的应用当然是快速解高次方程。如果你赌它的解为有理数，那么就可以列出最高次项、常数项的所有因数，然后获得所有可能的根，一个个地试。由于可能存在多个有理解，所以建议把所有可能的根都试一遍。

例如：对于

，它的最高此项为

，因数有

；常数项为

，因数有

，所以这个方程可能存在的有理根一定是

中的一个或者多个。经过尝试，我们可以发现

时，

都为

，也就是说

的有理解为

。

当然，既然知道了根，那就可以顺便把

因式分解掉，由因式定理可以得到

。

不过，如果方程的解不幸地都是无理数，那么这个方法就没有用武之地了（只能脑解），直接猜

或着

之类的代入验证，或者干脆怀疑自己的方程列错了吧。

极点极线

注意：极点极线在大题中不能使用（高中教材中没有相关内容）！毕竟没有多少老师知道这玩意儿，所以写在试卷上几乎不可能得到过程分。不过有一种投机取巧的方法，那就是我的同学们津津乐道的四川话：

麻证麻解，把改卷老师麻到起！

不错，你可以列好所有方程，令

解得一条直线（的斜率）。只是这条直线其实并不是你通过列好的方程算出来的，而是用极点极线

直接写出来的！这样就不会出现任何会引起改卷老师怀疑的地方，毕竟没有人会管你的计算过程；因此所有分数都到手了（笑）。

概念

极点极线是一种圆锥曲线（也适用于圆，因为圆是特殊的圆锥曲线）中的概念，它本质上是平面上点与直线之间的一种双映射：也就是说，关于同一个圆锥曲线，一个点唯一对应一条直线，一条直线也唯一对应一个点。

计算法则

设圆锥曲线

，平面上任意一点

，则极点

关于圆锥曲线

的极线方程为：

通俗一点，对于圆锥曲线的一般方程（注意，必须完全展开才能使用结论）

，点

关于

的极线方程，即把

中：

换为

；
换为

；
换为

；
常数项不变。

获知极线方程以后，也可以利用圆锥曲线方程反算出极点坐标，毕竟极点极线是一种双映射。

至于极点极线相关性质的证明，作为高中生（而非数竞选手）不需要过多深入研究。

几何意义

点在圆锥曲线外

点在圆锥曲线上

点在圆锥曲线内

由上面三幅图可以很清晰地看出，极点

、极线

的位置关系满足：

点在圆锥曲线

外，则

为

点的

切点弦方程；
点在圆锥曲线

上，则

为

点处的

切线方程；
点在圆锥曲线

内，则

为与圆锥曲线

相离的一条直线（虚切点弦方程）。

一个不太严谨的推导（隐函数求导）

我偷个懒…就用最简单的椭圆

做例子吧。

首先，

的方程左右两边同时对

求导：

①如果点

在

上，即

，有：

式子中的

其实就是切线

的斜率，化简得：

所以

的方程为：

即

②如果点

在

外（不考虑在

内的情况），设切点

，且在

处的切线为

。由①的结论有：

我们又知道

，即：

对这个两个式子，我们可以反着理解：除了说这是“

在

上”的表达式，也可以说这是“

在直线

上”的表达式。

所以

的方程依然是

。

当你写切线方程或者切点弦方程的时候，就可以用这种方式秒杀。

几何意义

自极三点形

上图中，

是圆锥曲线内接四边形。

为四边形对角线的交点；

为边的延长线的交点。那么你会惊奇地发现，

十分特殊：

任意一个顶点的对边就是它关于圆锥曲线的极线。这个三角形叫做自极三点形。

这个性质实际上除了美妙并没有太大的用处，但是在原图基础上再作一些线，就会出现极点极线的另一个几何性质：

调和共轭点

延长

交

于点

。关注红色标注的

四点，它们有这样一个性质：

或者调换一下顺序：

这四个点叫做调和点列。有一堆专有名词来描述它们的位置关系，这里我们只需要记住

调和共轭就可以了。

如何记住这个比值关系呢？我有比较精炼的一句话：两点到另两点的距离之比相等。

“调和共轭”这个概念已经略微接触高等几何了，不建议深究证明。

应用

1) 巧算切线

切点弦方程

上文已经提到过，为了保证不被扣过程分，建议还是写上直线与圆锥曲线联立方程，然后令

，最后写上用极点极线算出的直线方程即可。

更新：除了这种方法外，也可以使用我在推导过程中用到的隐函数求导来写切线

切点弦方程。

2) 处理复杂几何关系

调和共轭的比值式有多种变形，最常见的是取一个中点，然后告诉你一条线段长度的平方等于另外两条线段长度之积。这种时候要进行倍长处理，然后对等式瞎代换一通；或者利用等比性质，把等式转化为熟悉的比值式。这些以调和共轭作为背景的题目，一般都是几何翻译难度较高、计算量极大，所以还是可以采用麻解的方法。

总而言之，一旦你知道了这些题目的背景，它那些看似唬人的条件对于你来说只是个花架子罢了；要不是因为过程分的束缚，你是可以秒杀它的。

更新：LZ马上高三，已经学完导数了，相关的内容也更新了。现在才发现这些花里胡哨的东西的用处并不是很大，韦达定理+暴力真香（汗）。

需要强调的是，上面这些高级方法的意义只能是“锦上添花”。如果你还不能熟练使用韦达定理简化运算，还不知道如何巧设参变量、函数如何求最值，那么即使学了我所讲的这些技巧也不会对提分有任何帮助。毕竟，这些所谓高级方法能够解的题目，韦达定理 + 暴算是绝对能解的，只是前者思维难度更大，后者计算量更大。因此，基本功是最重要的，不刷够题目就不要来学这些旁门左道。

希望这篇文章对你有所帮助，有所启发。