文章目录

1. 连续时间复指数信号与正弦信号
- 1.1 实指数信号
- 1.2 周期复指数信号与正弦信号
- - 1.2.1 周期复指数信号
  - 2.1.2 谐波信号
  - 2.1.3 正弦信号
- 1.3 一般复指数信号
2. 离散时间复指数信号与正弦信号
- 2.1 实指数信号
- 2.2 复指数信号与正弦信号
- - 2.2.1 与连续时间复指数信号的区别
  - 2.2.2 谐波信号
- 2.3 一般复指数信号

1. 连续时间复指数信号与正弦信号

连续时间复指数信号的形式为

x(t)=Ceat(1.1)x(t) = Ce^{at}\tag{1.1} x(t)=Ceat(1.1)

其中，CCC与aaa一般为复数。根据参数类型的不同，复指数信号可以有几种不同特征。

1.1 实指数信号

若CCC与aaa均为实数，则x(t)x(t)x(t)为实指数信号，也就是我们高中所学的简单的指数函数。若a>0a>0a>0，则x(t)x(t)x(t)随ttt的增加而呈指数增长；若a<0a < 0a<0，则x(t)x(t)x(t)随ttt的增加而呈指数衰减。

1.2 周期复指数信号与正弦信号

1.2.1 周期复指数信号

若aaa为纯虚数，则x(t)x(t)x(t)为复指数信号，可写为

x(t)=ejω0t(1.2)x(t)=e^{j\omega_0t}\tag{1.2} x(t)=ejω0t(1.2)

该信号对任意ω0\omega_0ω0都是周期的，其基波周期为

T0=2π∣ω0∣(1.3)T_0 = \frac{2\pi}{\mid\omega_0\mid}\tag{1.3} T0=∣ω0∣2π(1.3)

证明：
若x(t)x(t)x(t)为周期的，则存在TTT，使得ejω0t=ejω0(t+T)e^{j\omega_0t}=e^{j\omega_0(t+T)}ejω0t=ejω0(t+T)对任意ttt成立，简单化简可得ejω0T=1e^{j\omega_0T} = 1ejω0T=1。
若ω0=0\omega_0 = 0ω0=0，则x(t)=1x(t)=1x(t)=1，此时TTT为任意值；
若ω0≠0\omega_0\neq0ω0=0，则T=k2πω0(k=0,±1,±2,...)T = k\frac{2\pi}{\omega_0}(k=0,\pm1,\pm2,...)T=kω02π(k=0,±1,±2,...)，因此基波周期为T0=2π∣ω0∣T_0 = \frac{2\pi}{\mid\omega_0\mid}T0=∣ω0∣2π

2.1.2 谐波信号

一组成谐波关系（harmonically related）的复指数信号具有公共周期T0T_0T0，其基波频率是某一正频率ω0\omega_0ω0的整数倍，即

ϕk(t)=ejkω0t,k=0,±1,±2,...(1.4)\phi_k(t)=e^{jk\omega_0t},\quad k=0,\pm1,\pm2,...\tag{1.4} ϕk(t)=ejkω0t,k=0,±1,±2,...(1.4)

基波频率为∣k∣ω0|k|\omega_0∣k∣ω0，基波周期为T0/∣k∣T_0/|k|T0/∣k∣。

2.1.3 正弦信号

正弦信号是一种与周期复指数信号密切相关的信号，可写为

x(t)=Acos⁡(ω0t+ϕ)(1.5)x(t) = A\cos(\omega_0t+\phi)\tag{1.5} x(t)=Acos(ω0t+ϕ)(1.5)

其中，若ttt的单位为秒，则ϕ\phiϕ的单位为弧度，ω0\omega_0ω0的单位为rad/s。角频率ω0=2πf\omega_0=2\pi fω0=2πf，fff的单位为Hz。

正弦信号为周期信号，其基波周期为T0=2π/ω0=1/fT_0 = 2\pi/\omega_0=1/fT0=2π/ω0=1/f。

利用欧拉关系，复指数信号可写为

ejω0t=cos⁡(ω0t)+jsin⁡(ω0t)(1.6)e^{j\omega_0t} = \cos(\omega_0t) + j\sin(\omega_0t)\tag{1.6} ejω0t=cos(ω0t)+jsin(ω0t)(1.6)

而正弦信号也可改写为

Acos⁡(ω0t+ϕ)=A2ejϕejω0t+A2e−jϕe−jω0t=ARe{ej(ω0t+ϕ)}(1.7)A\cos(\omega_0t+\phi) = \frac{A}{2}e^{j\phi}e^{j\omega_0t} + \frac{A}{2}e^{-j\phi}e^{-j\omega_0t}=ARe\{e^{j(\omega_0t+\phi)}\}\tag{1.7} Acos(ω0t+ϕ)=2Aejϕejω0t+2Ae−jϕe−jω0t=ARe{ej(ω0t+ϕ)}(1.7)

Asin⁡(ω0t+ϕ)=AIm{ej(ω0t+ϕ)}(1.8)A\sin(\omega_0t+\phi)=AIm\{e^{j(\omega_0t+\phi)}\}\tag{1.8} Asin(ω0t+ϕ)=AIm{ej(ω0t+ϕ)}(1.8)

1.3 一般复指数信号

将CCC与aaa分别表示为C=∣C∣ejθC = \mid C \mid e^{j\theta}C=∣C∣ejθ和a=r+jω0a = r + j\omega_0a=r+jω0，则有

x(t)=Ceat=∣C∣ejθe(r+jω0)t=∣C∣ertej(ω0t+θ)=∣C∣ertcos⁡(ω0t+θ)+∣C∣ertsin⁡(ω0t+θ)(1.9)x(t) = Ce^{at} = \mid C \mid e^{j\theta}e^{(r+j\omega_0)t} = \mid C \mid e^{rt}e^{j(\omega_0t+\theta)} = \mid C \mid e^{rt}\cos(\omega_0t + \theta) + \mid C \mid e^{rt}\sin(\omega_0t + \theta) \tag{1.9} x(t)=Ceat=∣C∣ejθe(r+jω0)t=∣C∣ertej(ω0t+θ)=∣C∣ertcos(ω0t+θ)+∣C∣ertsin(ω0t+θ)(1.9)

由此可见，∣C∣ert\mid C \mid e^{rt}∣C∣ert是该复指数信号的振幅，起着震荡变化的包络作用。

2. 离散时间复指数信号与正弦信号

离散时间复指数信号（序列）定义为

x[n]=Cαnorx[n]=Ceβn(2.1)x[n] = C\alpha^n\quad or \quad x[n] = Ce^{\beta n}\tag{2.1} x[n]=Cαnorx[n]=Ceβn(2.1)

2.1 实指数信号

此时CCC与α\alphaα均为实数，具体性质略。

2.2 复指数信号与正弦信号

若β\betaβ为纯虚数，即∣α∣=1\mid \alpha \mid=1∣α∣=1，即可得到复指数序列，可改写为

x[n]=ejω0n(2.2)x[n] = e^{j\omega_0n}\tag{2.2} x[n]=ejω0n(2.2)

与之对应的正弦信号x[n]=Acos⁡(ω0n+ϕ)x[n] = A\cos(\omega_0n+\phi)x[n]=Acos(ω0n+ϕ)同样满足

ejω0n=cos⁡(ω0n)+jsin⁡(ω0n)(2.3)e^{j\omega_0n}=\cos(\omega_0n)+j\sin(\omega_0n)\tag{2.3} ejω0n=cos(ω0n)+jsin(ω0n)(2.3)

Acos⁡(ω0n+ϕ)=A2ejϕejω0n+A2e−jϕe−jω0n(2.4)A\cos(\omega_0n+\phi) = \frac{A}{2}e^{j\phi}e^{j\omega_0n}+\frac{A}{2}e^{-j\phi}e^{-j\omega_0n}\tag{2.4} Acos(ω0n+ϕ)=2Aejϕejω0n+2Ae−jϕe−jω0n(2.4)

2.2.1 与连续时间复指数信号的区别

离散复指数信号与连续复指数信号存在一些区别。

区别1：高频与低频

对于离散复指数信号，有

ej(ω0+2kπ)n=ejω0n,k=0,±1,±2,...(2.5)e^{j(\omega_0+2k\pi)n} = e^{j\omega_0n},\quad k=0,\pm1,\pm2,...\tag{2.5} ej(ω0+2kπ)n=ejω0n,k=0,±1,±2,...(2.5)

这说明离散复指数信号在频率ω0\omega_0ω0和频率ω0+2kπ\omega_0+2k\piω0+2kπ时是完全一样的。此外，信号的振荡速率在ω0∈[0,π]\omega_0\in[0,\pi]ω0∈[0,π]时递增，在ω0∈[π,2π]\omega_0\in[\pi,2\pi]ω0∈[π,2π]中递减。因此，离散时间复指数信号的低频部分位于π\piπ的偶数倍频率附近，高频部分则位于π\piπ的奇数倍频率附近。

而对于连续复指数信号来说，不同的ω0\omega_0ω0则对应完全不同的信号，且信号振荡速率随着ω0\omega_0ω0的增加而持续递增。

区别2：周期性

若使离散复指数信号为周期信号，则需满足

ejω0(n+N)=ejω0n(2.6)e^{j\omega_0(n+N)} = e^{j\omega_0n}\tag{2.6} ejω0(n+N)=ejω0n(2.6)

即

ω0=2πkN,k=0,±1,±2,...(2.7)\omega_0=2\pi\frac{k}{N},\quad k = 0, \pm1, \pm2, ...\tag{2.7} ω0=2πNk,k=0,±1,±2,...(2.7)

仅当ω0\omega_0ω0满足条件时，离散复指数信号才是周期的。而连续复指数信号对于任意ω0\omega_0ω0都是周期的。

2.2.2 谐波信号

成谐波关系的一组周期离散时间复指数信号的频率都是2π/N2\pi/N2π/N的整数倍，即

ϕk[n]=ejk(2π/N)n,k=0,±1,...(2.8)\phi_k[n] = e^{jk(2\pi/N)n},\quad k = 0, \pm1, ... \tag{2.8} ϕk[n]=ejk(2π/N)n,k=0,±1,...(2.8)

连续时间时，成谐波关系的信号都是不相同的，而离散时间时，有

ϕk+N[n]=ej(k+N)(2π/N)n=ejk(2π/N)nej2πn=ϕk[n](2.9)\phi_{k+N}[n]=e^{j(k+N)(2\pi/N)n} = e^{jk(2\pi/N)n}e^{j2\pi n} = \phi_k[n] \tag{2.9} ϕk+N[n]=ej(k+N)(2π/N)n=ejk(2π/N)nej2πn=ϕk[n](2.9)

因此，仅有NNN个互不相同的周期复指数信号。

2.3 一般复指数信号

将CCC与α\alphaα均用极坐标形式给出，则有
Cαn=∣C∣∣α∣ncos⁡(ω0n+θ)+j∣C∣∣α∣nsin⁡(ω0n+θ)(2.10)C\alpha^n = |C||\alpha|^n\cos(\omega_0n+\theta)+j|C||\alpha|^n\sin(\omega_0n+\theta)\tag{2.10}Cαn=∣C∣∣α∣ncos(ω0n+θ)+j∣C∣∣α∣nsin(ω0n+θ)(2.10)

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