组合数学 8种盒子放球问题
这篇博客总结一下下边8种问题:
1. 有n个相同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。
2. 有n个相同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。
3. 有n个相同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。
4. 有n个相同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。
5. 有n个不同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。
6. 有n个不同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。
7. 有n个不同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。
8. 有n个不同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。
题解:
1. 有n个相同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。
这个问题等价于求n=a1+a2+a3+...ak ,ai不能为0的方案数。隔板法,插空法。
把n个相同的球放在一行,那么这n个球中间有n-1个空,那么在这n-1个空中选k-1个空,放k-1个隔板,就把这n个球分成了k份。
所以方案数为C(n-1,k-1) , 组合数公式,表示从n-1个取k-1个的方案数。
例题: 牛客网 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D
2. 有n个相同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。
和问题1方法一样,这个允许盒子为空。n=a1+a2+a3+...ak ,ai可以为0的方案数。
这个题等价于 有n+k个相同的球,k个不同盒子,盒子不许为空的方案数。因为:把这n+k个球分到k个盒子之后,把每个盒子里的球的数量都减一,那么球的总数就是n个了,盒子里的球就可能是空的了。
所以方案数为 C(n+k-1,k-1).
例题: 牛客网 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D
3. 有n个相同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。
这是一道动态规划题,用dp[i][j]表示把n个球放到不超过k个盒子里的方案数。
我们可以根据有没有空盒子列出下面这个转移方程:
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j] ,解释一下:
dp[i][j-1] 表示有空盒子,那么就是i个球放到不超过j-1个盒子的方案数
dp[i-j][j] 表示没有空盒子,那么每个盒子最少要有1个球,那么先把每个盒子放一个球,还剩下i-j个球,把剩下的i-j个球分到不超过j个盒子。
dp[n][k]就是答案。
4. 有n个相同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。
和第3个方法一样,也是动态规划,dp[i][j]表示的意义和第3题一样。
答案应该是 dp[n][k]-dp[n][k-1].
显然,(n个球放到k个相同的盒子,盒子允许为空的方案数)减去(n个球放到k-1个盒子,盒子允许为空的方案数)就是 (n个球放到k个盒子,盒子不允许为空的方案数)。
5. 有n个不同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。
这个题是第二类Stirling数,不知道的自己百度。
用S(n,k)表示n个不同的球,放到k个不同的盒子,盒子不允许为空的方案数。
那么 S(n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) 1<=k<=n S(0,0)=1,S(i,0)=0
解释一下怎么理解这个状态转移方程,第n个球可以有两种状态,第n个球单独在一个盒子里,第n个球所在盒子至少有两个。
S(n-1,k-1) 就是第n个球单独在一个盒子里,那么就剩n-1个不同球,分到剩下的k-1个盒子里。
k*S(n-1,k) :先把前i-1个分配到k个盒子里,方案数是S(n-1,k) ,第n个球然后就有k种方法,总方案数就是k*S(n-1,k)
dp打出一个二维数组的表,就能算出答案
6. 有n个不同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。
和第5题方法一样,答案就是 S(n,1)+S(n,2)+.....S(n,k)
显然是这样的,不解释。
7. 有n个不同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。
和第5题的区别是盒子不同,那么答案就是 S(n,k)*k!
8. 有n个不同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。
k的n次方,每个球都有k中选择。
有什么问题欢迎在下边评论。
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