求1到n的所有质数（素数）

1. 一般方法

定义一个空列表，双层循环实现。时间复杂高计算慢（时间复杂度为O(n2)\mathrm{O}\left(\mathrm{n}^{2}\right)O(n2)）

def naive_prime(n):result = []for i in range(2, n+1):if i == 2:result.append(i)continuefor j in range(2, i):if i % j == 0:breakelse:if j == i - 1: result.append(i)return result

2. 埃拉托斯特尼筛法

[https://zh.wikipedia.org/wiki/埃拉托斯特尼筛法]
给出要筛数值的范围n，找出n\sqrt{n}n以内的素数p1,p2,…,pkp_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}p1,p2,…,pk。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去…。
如图：

图片来自 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif
其时间复杂度为（O(n⋆lg⁡lg⁡n)O\left(n^{\star} \lg \lg n\right)O(n⋆lglgn)）

算法实现

def my_prime(n):is_prime = [True] * (n + 1)for i in range(2, (int(n ** 0.5) +1)):if is_prime[i]:for j in range(i**2, n+1, i):is_prime[j] = Falsereturn [x for x in range(2, n) if is_prime[x]]

3. 两种算法所需时间的计算

用上述两种算法求1到100，1到1000， 1到10000的所有质数，计算两种算法的运行时间，评价其性能

第一中算法花费的时间分别为
[0.0001109,0.008414699999999999,0.609495][0.0001109,0.008414699999999999,0.609495] [0.0001109,0.008414699999999999,0.609495]
第二种算法花费的时间分别为
[1.4600000000000003e−05,0.0001021000000000008,0.0010745000000000893][1.4600000000000003 e-05,0.0001021000000000008,0.0010745000000000893] [1.4600000000000003e−05,0.0001021000000000008,0.0010745000000000893]
分别提速了
[6.8055555683.48502994551.70287728]\left[\begin{array}{ccc}{} & {6.80555556} & {83.48502994} & {551.70287728 ]}\end{array}\right. [6.8055555683.48502994551.70287728]
程序汇总

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import time as tm
import numpy as np
def my_prime(n):is_prime = [True] * (n + 1)for i in range(2, (int(n ** 0.5) +1)):if is_prime[i]:for j in range(i**2, n+1, i):is_prime[j] = Falsereturn [x for x in range(2, n) if is_prime[x]]def naive_prime(n):result = []for i in range(2, n+1):if i == 2:result.append(i)continuefor j in range(2, i):if i % j == 0:breakelse:if j == i - 1: result.append(i)return result n = [100,1000,10000]
naive_time = []
advanced_time = []
for i in n:start_1 = tm.perf_counter()naive_prime(i)end_1 = tm.perf_counter()naive_time.append(end_1 - start_1)start_2 = tm.perf_counter()my_prime(i)end_2 = tm.perf_counter()advanced_time.append(end_2 - start_2)
print('naive_time ->>>>>>>>', '\n', naive_time)
print('advanced_time_time ->>>>>>>>', '\n', advanced_time)
print('提速了',(np.array(naive_time) -  np.array(advanced_time)) /  np.array(advanced_time))
fig = plt.figure(figsize=(10,6))
time = [naive_time, advanced_time]
colors = ['red', 'blue']
label = ['naive_prime', 'advanced_prime']
for i in range(2):plt.plot(n, time[i], c=colors[i], label=label[i])plt.scatter(n, time[i], c=colors[i])
#添加图例，loc='upper left表示图例位置在最左侧，一般也可以直接使用loc='best'
plt.legend(loc='upper left')
plt.xlabel('number')
plt.ylabel('running time')
plt.title('velocity of two algorithm')
plt.show()

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