向量叉乘的几何意义及其模的计算

目的：在传统的向量叉乘计算中，常常遇到叉乘。定义为向量。其这个向量方向满足右手定则。它的模大小，一般被忽略。因此推测一下。

向量叉乘定义：
外积（英语：Cross product）又称向量积（英语：Vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，用符号：×\times×表示。可以定义为：
a→×b→=c→(1)\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \space \space \space \space(1) a×b=c    (1)
假设两个向量a→×b→\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}a×b外积,它的方向为c→\overrightarrow{c}c。其方向由右手定则决定。模长等于这两个向量边的平行四边形的面积。
它的定义也可以写成：
a→×b→=∣a→∣∣b→∣sin(θ)n→(2)\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} \space \space \space \space(2) a×b=∣a∣∣b∣sin(θ)n    (2)
其中θ\thetaθ为两个向量的夹角0≤θ≤1800\le \theta \le 1800≤θ≤180；∣a→∣∣b→∣|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|∣a∣∣b∣分别为两个向量a→b→\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}ab的模长。n→\overrightarrow{n}n为垂直于a→b→\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}ab所在平面的法向量，且它满足右手定则。如下图：

上面的定义很好理解。但是一般在代数计算两个向量的叉乘，会用到行列式计算。就如一组单位积(i→,j→,k→)(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})(i,j,k);其中a→=a0i→+a1j→+a2k→\overrightarrow{a}=a_0\overrightarrow{i}+a_1\overrightarrow{j}+a_2\overrightarrow{k}a=a0i+a1j+a2k;b→=b0i→+b1j→+b2k→\overrightarrow{b}=b_0\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+b_2\overrightarrow{k}b=b0i+b1j+b2k
在计算两个向量的叉乘时候，一般用代数方法为：
a→×b→=(a0i→+a1j→+a2k→)×(b→=b0i→+b1j→+b2k→)=a0b0(i→×i→)+a0b1(i→×j→)+a0b2(i→×k→)+a1b0(j→×i→)+a1b1(j→×j→)+a1b2(j→×k→)+a2b0(k→×i→)+a2b1(k→×j→)+a2b2(k→×k→)(3)\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_0\overrightarrow{i}+a_1\overrightarrow{j}+a_2\overrightarrow{k}) \times(\overrightarrow{b}=b_0\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+b_2\overrightarrow{k}) \\ = a_0b_0(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{i}) + a_0b_1(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j}) + a_0b_2(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k})+ \\ a_1b_0(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{i}) + a_1b_1(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j}) + a_1b_2(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k}) + \\ a_2b_0(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i}) + a_2b_1(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{j}) + a_2b_2(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k}) \space \space \space \space(3) a×b=(a0i+a1j+a2k)×(b=b0i+b1j+b2k)=a0b0(i×i)+a0b1(i×j)+a0b2(i×k)+a1b0(j×i)+a1b1(j×j)+a1b2(j×k)+a2b0(k×i)+a2b1(k×j)+a2b2(k×k)    (3)

因为基向量(i→,j→,k→)(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})(i,j,k)两两垂直，且为单位向量。0→\overrightarrow{0}0 表示都为000的向量。所以得到：
i→×i→=0→(4)j→×j→=0→(5)k→×k→=0→(6)i→×j→=k→(7)j→×k→=i→(8)k→×i→=j→(9)\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{i}= \overrightarrow{0} \space \space \space \space(4) \\ \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{0} \space \space \space \space(5) \\ \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{0} \space \space \space \space(6) \\ \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{k} \space \space \space \space(7) \\ \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k}= \overrightarrow{i} \space \space \space \space(8)\\ \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i}= \overrightarrow{j} \space \space \space \space(9) i×i=0 (4)j×j=0 (5)k×k=0 (6)i×j=k (7)j×k=i (8)k×i=j (9)
将(4)(5)(6)(7)(8)(9)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(4)(5)(6)(7)(8)(9)代入公式(3)(3)(3)得到如下：
a→×b→=−a0b00→+a0b1k→−a0b2j→−a1b0k→−a1b10→+a1b2i→+a2b0j→−a2b1i→−a2b20→=(a1b2−a2b1)i→+(a2b0−a0b2)j→+(a0b1−a1b0)k→(10)\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = -a_0b_0\overrightarrow{0}+a_0b_1\overrightarrow{k}-a_0b_2\overrightarrow{j} \\ - a_1b_0\overrightarrow{k}-a_1b_1\overrightarrow{0} +a_1b_2\overrightarrow{i} \\ +a_2b_0 \overrightarrow{j} - a_2b_1\overrightarrow{i} -a_2b_2\overrightarrow{0}\\ =(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{i} + (a_2b_0-a_0b_2)\overrightarrow{j} +(a_0b_1-a_1b_0)\overrightarrow{k} \space \space \space \space(10) a×b=−a0b00+a0b1k−a0b2j−a1b0k−a1b10+a1b2i+a2b0j−a2b1i−a2b20=(a1b2−a2b1)i+(a2b0−a0b2)j+(a0b1−a1b0)k (10)

公式的(10)(10)(10)，在日常用行列式计算表达。使用(i→,j→,k→)(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})(i,j,k)的矩阵余子式计算方式。它和代数计算方式相等。
a→×b→=[i→j→k→a0a1a2b0b1b2]=(a1b2−a2b1)i→+(a2b0−a0b2)j→+(a0b1−a1b0)k→\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =\begin{bmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_0& a_1 & a_2 \\ b_0& b_1 & b_2 \end{bmatrix} = (a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{i} + (a_2b_0-a_0b_2)\overrightarrow{j} +(a_0b_1-a_1b_0)\overrightarrow{k} a×b=⎣⎡ia0b0ja1b1ka2b2⎦⎤=(a1b2−a2b1)i+(a2b0−a0b2)j+(a0b1−a1b0)k

因为它为基向量，在欧式几何中，它的表达为：
i→=[100];j→=[010];k→=[001](11)\overrightarrow{i}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}; \overrightarrow{j}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix};\overrightarrow{k}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \space \space \space \space(11) i=⎣⎡100⎦⎤;j=⎣⎡010⎦⎤;k=⎣⎡001⎦⎤ (11)
因此(11)(11)(11)代入到(10)(10)(10)得到：
a→×b→=[a1b2−a2b1a2b0−a0b2a0b1−a1b0](12)\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} \space \space \space \space(12) a×b=⎣⎡a1b2−a2b1a2b0−a0b2a0b1−a1b0⎦⎤ (12)

上面是基于基向量的表达，它和上面的公式对应，因此可以得到：
a→×b→=∣a→∣∣b→∣sin(θ)n→=[a1b2−a2b1a2b0−a0b2a0b1−a1b0](13)\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} =\begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} \space \space \space \space(13) a×b=∣a∣∣b∣sin(θ)n=⎣⎡a1b2−a2b1a2b0−a0b2a0b1−a1b0⎦⎤ (13)

在一些应用，经常向量的表示转化为矩阵的运算。因此(13)公式可以表示矩阵和向量的乘法。
a→×b→=∣a→∣∣b→∣sin(θ)n→=[a1b2−a2b1a2b0−a0b2a0b1−a1b0]=[0−a2a1a20−a0−a1a00][b0b1b2]=a→×b→(14)\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} =\begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -a_2 & a_1 \\ a_2& 0 & -a_0 \\ -a_1& a_0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \space \space \space \space(14) a×b=∣a∣∣b∣sin(θ)n=⎣⎡a1b2−a2b1a2b0−a0b2a0b1−a1b0⎦⎤=⎣⎡0a2−a1−a20a0a1−a00⎦⎤⎣⎡b0b1b2⎦⎤=a×b (14)

两个向量的叉乘仅仅在三维空间有定义。在二维空间没有定义。

下面介绍向量的行列式和向量组成的平行四边形面积的关系。
假设a→,b→\overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b}a,b为二维向量。这样易于解释。因此画图如下：

计算三角形面积为：
∣area∣=12∣a→∣∣b→∣sin(θ)(15)|area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta) \space \space \space \space(15) ∣area∣=21∣a∣∣b∣sin(θ) (15)

转化一下表达，因为sin(θ)sin(\theta)sin(θ)不好计算，需要计算cos(θ)cos(\theta)cos(θ)。

其中∣a→′∣=∣a→∣|\overrightarrow{a}'|=|\overrightarrow{a}|∣a′∣=∣a∣;∣b→∣sin(θ)=∣b→′∣cos(θ′)|\overrightarrow{b}|sin(\theta)=|\overrightarrow{b}'|cos(\theta')∣b∣sin(θ)=∣b′∣cos(θ′);

∣area∣=12∣a→∣∣b→∣sin(θ)=12∣b→∣∣a→∣cos(θ′)(16)|area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|cos(\theta') \space \space \space \space(16) ∣area∣=21∣a∣∣b∣sin(θ)=21∣b∣∣a∣cos(θ′) (16)
其中θ′+θ=90\theta'+\theta=90θ′+θ=90.且∣a→′∣=∣a→∣|\overrightarrow{a}'|=|\overrightarrow{a}|∣a′∣=∣a∣,容易得到公式简化，简化上述等式为：
∣area∣=12∣b→∣∣a→′∣cos(θ′)=12b→⋅a→′=12a→′⋅b→(17)|area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}'|cos(\theta')=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}'=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{a}' \cdot \overrightarrow{b} \space \space \space \space(17) ∣area∣=21∣b∣∣a′∣cos(θ′)=21b⋅a′=21a′⋅b (17)

因为a→′\overrightarrow{a}'a′是通过a→\overrightarrow{a}a旋转90度得到的，如下图。

因此假设a→=[a0a1]\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \end{bmatrix}a=[a0a1] 得到a→′=[−a1a0]\overrightarrow{a}'=\begin{bmatrix} -a_1 \\ a_0 \end{bmatrix}a′=[−a1a0]

因此得到公式：
2∣area∣=a→′⋅b→=[−a1a0]⋅[b0b1]=a0b1−a1b0(18)2|area|=\overrightarrow{a}' \cdot \overrightarrow{b}=\begin{bmatrix} -a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \end{bmatrix} = a_0b_1-a_1b_0 \space \space \space \space(18) 2∣area∣=a′⋅b=[−a1a0]⋅[b0b1]=a0b1−a1b0 (18)

可以看到行列式是面积的表达。
2∣area∣=∣a0a1b0b1∣2|area|=\begin{vmatrix} a_0 & a_1 \\ b_0 & b_1 \end{vmatrix} 2∣area∣=∣∣a0b0a1b1∣∣

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