曲线切线与法平面

显式形式：参数方程

$\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{matrix}\right. \right.$

则切线方向向量为(x'(t0),y'(t0),z'(t0))

隐式形式

$\left\{\begin{matrix} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{matrix}\right.$

则切线的方向向量为

法平面

已知曲线在(x0,y0,z0)的切线的方向向量为(xt,yt,zt)

则法平面方程为xt(x-x0)+yt(y-y0)+zt(z-z0)=0

曲面切面与法线

隐式形式

S:F(x,y,z)=0

则曲面在(x0,y0,z0)处的法向量为(Fx',Fy',Fz')

切平面方程为Fx'(x-x0)+Fy'(y-y0)+Fz'(z-z0)=0

显式形式

z=f(x,y)

将z=f(x,y)化为F(x,y,z)=f(x,y)-z

则法向量为(fx',fy',-1)

切平面方程为fx'(x-x0)+fy'(y-y0)-(z-z0)=0

法线

设曲面在(x0,y0,z0)处的法向量为(Fx,Fy,Fz)

则法线方程为

$\frac{x-x_{0}}{Fx}=\frac{y-y_{0}}{Fy}=\frac{z-z_{0}}{Fz}$

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曲线切线与曲面切面的求法

曲线切线与法平面

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