题目大意

给定一个n×mn\times m的网格图。有pp种颜色可以用来涂在网格中。
定义一个方案是不单调的，当且仅当任意两列网格图中的颜色种类数加起来超过qq种。
求不单调的方案数。

Data Constraint
n≤100,q≤p≤100,m≤109n\leq 100,q\leq p \leq 100,m\leq10^9

题解

每一列的方案显然只与它前一列的方案有关。
设f[i][j]f[i][j]表示做完前ii列，最后一列恰好选了jj种颜色的方案数。
那么f[i][k]+=f[i−1][j]∗trans[j][k]f[i][k] += f[i-1][j] * trans[j][k]。
现在要处理的就是trans[j][k]trans[j][k]了，这个可以预处理。
先枚举j,kj,k再考虑j,kj,k颜色集合的交集xx，trans[j][k]=Cxj×Ck−xp−j×Tjtrans[j][k] = C_{j}^{x}\times C_{p-j}^{k-x}\times T_j，其中TjT_j表示一列恰好放jj种颜色的方案。这个可以容斥一下：Tj=jn−∑j−1iTi×CijT_j=j^n-\sum_i^{j-1}T_i\times C_j^i
预处理出transtrans之后，再矩阵乘法一下即可。

SRC

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std ;#define N 100 + 10
typedef long long ll ;
const int MO = 998244353 ;
struct Matrix {ll Mat[N][N] ;
} trans , f , s , ret ;ll fac[N] , _fac[N] , T[N] ;
int n , m , p , q ;
ll ans ;Matrix operator * ( Matrix a , Matrix b ) {memset( ret.Mat , 0 , sizeof(ret.Mat) ) ;for (int i = 1 ; i <= p ; i ++ ) {for (int j = 1 ; j <= p ; j ++ ) {for (int k = 1 ; k <= p ; k ++ ) {ret.Mat[i][j] = (ret.Mat[i][j] + a.Mat[i][k] * b.Mat[k][j] % MO) % MO ;}}}return ret ;
}ll Power( ll x , int k ) {ll s = 1 ;while ( k ) {if ( k & 1 ) s = s * x % MO ;x = x * x % MO ;k /= 2 ;}return s ;
}ll C( int n , int m ) { return fac[n] * _fac[m] % MO * _fac[n-m] % MO ; }Matrix PowerM( int k ) {for (int i = 1 ; i <= p ; i ++ ) s.Mat[i][i] = 1 ;while ( k ) {if ( k & 1 ) s = s * trans ;trans = trans * trans ;k /= 2 ;}return s ;
}int main() {freopen( "color.in" , "r" , stdin ) ;freopen( "color.out" , "w" , stdout ) ;scanf( "%d%d%d%d" , &n , &m , &p , &q ) ;fac[0] = _fac[0] = 1 ;for (int i = 1 ; i <= max(n,p) ; i ++ ) {fac[i] = fac[i-1] * i % MO ;_fac[i] = Power( fac[i] , MO - 2 ) ;}for (int i = 1 ; i <= p ; i ++ ) {T[i] = Power( i , n ) ;ll sum = 0 ;for (int j = 1 ; j < i ; j ++ ) {sum = (sum + T[j] * C(i,j) % MO) % MO ;}T[i] = (T[i] - sum + MO) % MO ;}for (int i = 1 ; i <= min(n,p) ; i ++ ) {for (int j = 1 ; j <= min(n,p) ; j ++ ) {for (int x = max(i+j-p, 0) ; x <= min(i,j) ; x ++ ) {if ( i + j - x < q ) continue ;trans.Mat[i][j] = (trans.Mat[i][j] + C(i,x) * C(p-i,j-x) % MO * T[j] % MO) % MO ;}}}for (int i = 1 ; i <= p ; i ++ ) f.Mat[1][i] = C(p,i) * T[i] % MO ;f = f * PowerM( m - 1 ) ;for (int i = 1 ; i <= p ; i ++ ) ans = (ans + f.Mat[1][i]) % MO ;printf( "%lld\n" , ans ) ;return 0 ;
}

以上.

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