素数筛选以及优化分析

素数筛选法的思想：对于不超过N的每个正整数，删除2P,3P,4P……，当处理完所有数之后，还没有被删除的就是素数。

按照上述思想写成的简单筛选法代码如下：

memset(vis,o,sizeof(vis));
for(int i=2;i<N;i++)
for(int j=i*2;j<=N;j+=i) vis[j]=1;
//用vis数组存储数j是否被删除的信息。

下面我们想想如何改进：

1.由唯一分解定理：每个正整数可以写成n=a1^p1*a2^p2……（其中a1,a2是质数）

改进代码：

memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i*i<=m;i++) if(!vis[i])//判断i是质数，
for(int j=i*i;j<=n;j+=i) vis[j]=1;//直接从i*i开始

这个改进了的代码也会有重复筛选的情况存在，比如数16，81等

下面给出最优的欧拉筛法，真正的o(n)复杂度

    const int N=1000000+5;  int check[N],prime[N];  memset(prime,0,sizeof(prime));  memset(check,0,sizeof(check));  int ptot=0;  for(int i=2;i<=n;i++){  if(!check[i]) prime[ptot++]=i;  for(int j=0;j<ptot;j++){  if(prime[j]*i>n) break;  check[prime[j]*i)=1;  if(i%prime[j]==0) break;//区别第二个代码的一步  }  }

欧拉筛法和第二个代码思想类似，只是多了关键了一步，“ifi%prime[j]==0) break;"

为什么要这样做呢？

分析第二个代码，它极大地避免了重复的筛选，它的外层筛选只选取质数，内层循环避免了2*3和3*2的这种重复筛选

但是像24这种既可以分解为2*12，又可以分解为3*8的来说，第二个代码就没有避免对24的重复筛选。

下面给出欧拉筛法里面关键一步的原理证明

设合数n的最小质因数为p，另一个比它大的质因数为p1，设n=p*m=p1*m1;因为p和p1互质，则p|m1;另外可以知道m1<m，故若在i为m1的时候对n筛选一次的话，那么在后面i为m的时候，又会对n筛选一次，所以需要判断m1%p==0；（可以证明起冲要性）这样就会只在i为m的时候对n进行筛选，实现了对每一个数只筛选一次。

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