51nod 1536不一样的猜数游戏 思路:O(n)素数筛选法。同Codeforces 576A Vasya and Petya‘s Game。
废话不多说,先上题目。
51nod
Codeforces
两个其实是一个意思,看51nod题目就讲的很清楚了,题意不再赘述。
直接讲我的分析过程:刚开始拿到手有点蒙蔽,看起来很难,然后。。。。。。然后我就开始一顿胡蒙,各种举例子、找规律下面为我取n = 10的过程。
1.首先1肯定不用取。因为它太特殊了,如果 取它的话,只能判断是不是1,因为所有数都是1的倍数;反之其他所有情况排除了就选它,不用浪费次数来取它。
2.素数肯定是要取的。因为。。。。。。因为这题一看就是考素数的题。
3.以10为例,如果是2,3的倍数,则为6。如果是2,5的倍数则为10。如果不是2的倍数,是5的倍数则为。如果是7的倍数则为7。现在我们根据2,3,5,7这4个素数选出了6,10,5,7这4个数。肯定还要再加数,怎么加?
4.如果加一个数能多判断更多的数最好了,先考虑3,3的倍数有3、6和9,6我们用2、3组合判断过了,3和9能怎么判断?肯定不能不选3而选9用排除法,因为1已经用了排除法,排除法只能用一次。因为要判断所有数字,想要判断3和9必须要同时取3和9,这样只多取了一个9我们就多判断了两个数字。现在我们能判断6、10、5、7、3、9这6个数字了。
5.再看2,2的倍数有2、4、6、8、10。6和10我们已经用2、3和2、5组合判断了,我们观察剩余的数字还有2、4、8,我尼玛?什么情况,如果刚刚的3和9是巧合的话,这里的2、4、8还是巧合?现在我们取中2、4、8三个数就可以判断这3个数了。我们判断出了9个数6、10、5、7、3、9、2、4、8,然后1用排除法,所以我们判断出了这10个数了。
这里我们观察到我们选出的都是素数的次方(小于n)。以10为例,2,4,8(2的次方);3,9(3的次方);5(5的次方);7(7的次方)。然后多试几例,发现就是这个规律。
现在我们有两条路可走:
- 找出所有的素数和它的次方(小于n),顺带用一个count计数。
- 找出所有不取的数计数count,然后用n减去这个count。即为任意找出两个素数a、b。排除所有a的次方 乘 b的次方。什么?为什么排除它们?想一想第一条路的补集不就是它们吗?
然后分析,发现第一条路只用找出素数及其次方,第二条路要在第一条路的基础上做更多工作,所以果断选择第一条路。
下面是代码了:
再加点注释:
#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;//素数筛选法 O(n) ,见那本小红书(ACM国际大学生程序设计竞赛-算法与实现)
int ans[1001]; //存入所有素数。
bool valid[1001]; //判断第i个是不是素数。
void getPrime(int n,int &tot){memset(valid,true,sizeof(valid));for(int i = 2;i <= n; i++){if(valid[i]){tot++;ans[tot] = i;}for(int j = 1;((j <= tot)&&(i*ans[j] <= n)); j++){valid[i*ans[j]] = false;if(i%ans[j] == 0) break;}}
}int main(){int n;cin >> n;int res = 0; // 素数及其次方的数量 int tot = 0; // 小于等于n的素数的数量 getPrime(n,tot); //筛选出素数 for(int i = 1;i <= tot; i++){ //遍历范围内素数,找出其次方 int t = ans[i];while(t <= n){res++;t*= ans[i];}}cout << res << endl;return 0;
}
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