python使用集合实现筛选法求素数-python素数筛选法浅析

原理：

素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。在加密应用中起重要的位置，比如广为人知的RSA算法中，就是基于大整数的因式分解难题，寻找两个超大的素数然后相乘作为密钥的。一个比较常见的求素数的办法是埃拉托斯特尼筛法(the Sieve of Eratosthenes)，说简单一点就是画表格，然后删表格，如图所示：

从2开始依次往后面数，如果当前数字一个素数，那么就将所有其倍数的数从表中删除或者标记，然后最终得到所有的素数。

有一个优化：

标记2和3的倍数的时候，6被标记了两次。所以从i的平方开始标记，减少很多时间。

比如3的倍数从9开始标记，而不是6，并且每次加6。

除了2以外，所有素数都是奇数。奇数的平方还是奇数，如果再加上奇数就变成了偶数一定不会是素数，所以加偶数(2倍素数)。

预先处理了所有偶数。

注意：1既不是素数也不是合数，这里没有处理1。

#! prime.py

import time

def primes(n):

P = []

f = []

for i in range(n+1):

if i > 2 and i%2 == 0:

f.append(1)

else:

f.append(0)

i = 3

while i*i <= n:

if f[i] == 0:

j = i*i

while j <= n:

f[j] = 1

j += i+i

i += 2

P.append(2)

for i in range(3,n,2):

if f[i] == 0:

P.append(i)

return P

def isPrime(n):

if n > 2 and n%2 == 0:

return 0

i = 3

while i*i <= n:

if n%i == 0:

return 0

i += 2

return 1

def primeCnt(n):

cnt = 0

for i in range(2,n):

if isPrime(i):

cnt += 1

return cnt

if __name__ == '__main__':

start = time.clock()

n = 10000000

P = primes(n);

print("There are %d primes less than %d"%(len(P),n))

#for i in range(10):

# print(P[i])

print("Time: %f"%(time.clock()-start))

#for n in range(2,100000):

# if isPrime(n):

# print("%d is prime"%n)

#print("%d is "%n + ("prime" if isPrime(n) else "not prime"))

start = time.clock()

n = 1000000

print("There are %d primes less than %d"%(primeCnt(n),n))

print("Time: %f"%(time.clock()-start)

用素数筛选法求1千万以内的素数用了5.767s，

普通素数判断法求1百万以内的素数用了9.642s，

用C++素数筛选法求1亿以内的素数用了0.948s，

用C++普通素数判断法求1千万以内的素数用了3.965s，

可见解释语言确实比编译语言慢很多。

附C++程序，用了位压缩优化空间

#include

using namespace std;

#define N 100000001

unsigned f[(N>>5)+5];

int p[5761456],m;

void init()

{

int i,j;

for(i=4;i

f[i>>5]|=1<<(i&0x1F);

p[m++]=2;

for(i=3;i*i

if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F))))

{

p[m++]=i;

for(j=i*i;j

f[j>>5]|=1<<(j&0x1F);

}

for(;i

if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F))))

p[m++]=i;

}

int is_prime(int n)

{

int i;

for(i=0;p[i]*p[i]<=n;i++)

if(n%p[i]==0)

return 0;

return 1;

}

int isPrime(int n)

{

if(n>2 && n%2==0)

return 0;

int i=3;

while(i*i<=n)

{

if(n%i==0)

return 0;

i+=2;

}

return 1;

}

int main()

{

int n=0,i;

clock_t st=clock();

init();

/*for(i=2;i<10000000;i++)

if(isPrime(i))

n++;*/

printf("%d %dms ",m,clock()-st);

/*while(~scanf("%d",&n),n)

{

i=lower_bound(p,p+m,n+1)-p;

printf("%d ",i);

}*/

return 0;

}

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持脚本之家。

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