[网络流24题][COGS396]魔术球问题简化版（最小割）

题目描述

传送门
注意题目描述：保证答案小于2000并非1600！

题解

有向无环图的最小路径覆盖问题，转化成最小割问题。
最小路径覆盖数随球的数量递增不递减，满足单调性，所以可以枚举答案（或二分答案），对于特定的答案求出最小路径覆盖数，一个可行解就是最小路径覆盖数等于N的答案，求出最大的可行解就是最优解。本问题更适合枚举答案而不是二分答案，因为如果顺序枚举答案，每次只需要在残量网络上增加新的节点和边，再增广一次即可。如果二分答案，就需要每次重新建图，大大增加了时间复杂度。
具体方法可以顺序枚举A的值，当最小路径覆盖数刚好大于N时终止，A-1就是最优解。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;const int max_n=4000;
const int max_N=max_n*2+2;
const int max_m=max_n*max_n*2;
const int max_e=max_m*2;
const int INF=1e9;int n,N,maxflow,ans;
bool can[max_n];
int tot,point[max_N],next[max_e],v[max_e],remain[max_e];
int deep[max_N],last[max_N],cur[max_N],num[max_N];
queue <int> q;inline void addedge(int x,int y,int cap){++tot; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remain[tot]=cap;++tot; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remain[tot]=0;
}inline void bfs(int t){while (!q.empty()) q.pop();q.push(t);while (!q.empty()){int now=q.front(); q.pop();for (int i=point[now];i!=-1;i=next[i])if (deep[v[i]]==max_N&&remain[i^1]){deep[v[i]]=deep[now]+1;q.push(v[i]);}}
}inline int addflow(int s,int t){int ans=INF,now=t;while (now!=s){ans=min(ans,remain[last[now]]);now=v[last[now]^1];}now=t;while (now!=s){remain[last[now]]-=ans;remain[last[now]^1]+=ans;now=v[last[now]^1];}return ans;
}inline void isap(int s,int t,int number){bfs(t);for (int i=1;i<=number;++i)++num[deep[i]];int now=s;while (deep[s]<max_N){if (now==t){maxflow+=addflow(s,t);now=s;break;}bool has_find=false;for (int i=point[now];i!=-1;i=next[i])if (deep[v[i]]+1==deep[now]&&remain[i]){has_find=true;cur[now]=i;last[v[i]]=i;now=v[i];break;}if (!has_find) break;}
}int main(){freopen("balla.in","r",stdin);freopen("balla.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for (int i=1;i*i<=4000;++i)can[i*i]=true;tot=-1;memset(point,-1,sizeof(point));memset(next,-1,sizeof(next));for (int t=1;;++t){addedge(1,2*t+1,1);addedge(2*t+2,2,1);    for (int i=1;i<t;++i)if (can[i+t])addedge(2*i+1,2*t+2,1);deep[2*t+1]=max_N;deep[2*t+2]=max_N;deep[1]=max_N;deep[2]=0;isap(1,2,t*2+2);ans=t-maxflow;if (ans>n){printf("%d\n",t-1);break;}}return 0;
}

总结

如何每次加边并进行一次增广注意一下。

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