自动控制原理第一讲预备知识

第一讲自动控制原理预备知识

一、因式分解的拆项表达(含复数)
- 1. 留数法
- 2. 长除法
二、典型物理系统
- 1. 弹簧-阻尼器力学系统
- 2. RLC及运算放大器电路系统
- 3. 齿轮系转动机械系统
三、系统数学模型
四、典型物理系统数学模型的建立(构建微分方程)⭐⭐⭐
五、拉普拉斯变换⭐⭐
- 1. 常用函数的拉普拉斯变换
- 2. 常用的拉普拉斯变换定理
五、讲解视频

一、因式分解的拆项表达(含复数)

将多项式因式分解成如下形式：
f ( s ) = K ∏ ( s + z i ) ∏ ( s + p j ) f(s)=K\frac{\prod_{}{(s+z_i)}}{\prod_{}{(s+p_j)}} f(s)=K∏(s+pj)∏(s+zi)

注：
(1) z i z_i zi, z j z_j zj可以以复数形式表达
(2) z i z_i zi称为表达式零点， z j z_j zj称为表达式极点
下面我们给出拆解表达式的两种方法。

1. 留数法

此方法可以将表达式拆为形式如下

f ( s ) = K ∑ K j ( s + p j ) n f(s)=K\sum_{}\frac{K_j}{(s+p_j)^n} f(s)=K∑(s+pj)nKj

(1)对于分母无重根情况
对应该项可拆为一项即 n = 1 n=1 n=1阶项

对应各项：
n = 1 n=1 n=1
K j = ( s + p j ) f ( s ) 原形式 ∣ s = − p j K_j=({s+p_j})f(s)_{原形式}|_{s=-p_j} Kj=(s+pj)f(s)原形式∣s=−pj

(2)对于分母某一项含有二重根情况
对应该项可拆为两项即 n = 2 n=2 n=2和 n = 1 n=1 n=1阶项

1) n = 2 n=2 n=2时
K j 2 = ( s + p j ) 2 f ( s ) 原形式 ∣ s = − p j K_{j_2}=(s+p_j)^2f(s)_{原形式}|_{s=-p_j} Kj2=(s+pj)2f(s)原形式∣s=−pj

2) n = 1 n=1 n=1时
K j 1 = [ ( s + p j ) 2 f ( s ) 原形式 ] ′ ∣ s = − p j K_{j_1}=[(s+p_j)^2f(s)_{原形式}]'|_{s=-p_j} Kj1=[(s+pj)2f(s)原形式]′∣s=−pj

(3)对于分母某一项含有三重根情况
对应该项可拆为三项即 n = 3 n=3 n=3、 n = 2 n=2 n=2和 n = 1 n=1 n=1阶项

1) n = 3 n=3 n=3时
K j 3 = ( s + p j ) 3 f ( s ) 原形式 ∣ s = − p j K_{j_3}=(s+p_j)^3f(s)_{原形式}|_{s=-p_j} Kj3=(s+pj)3f(s)原形式∣s=−pj

2) n = 2 n=2 n=2时
K j 2 = [ ( s + p j ) 3 f ( s ) 原形式 ] ′ ∣ s = − p j K_{j_2}=[(s+p_j)^3f(s)_{原形式}]'|_{s=-p_j} Kj2=[(s+pj)3f(s)原形式]′∣s=−pj

2) n = 1 n=1 n=1时
K j 1 = [ 1 2 ( s + p j ) 3 f ( s ) 原形式 ] ′ ′ ∣ s = − p j K_{j_1}=[\frac{1}{2}(s+p_j)^3f(s)_{原形式}]''|_{s=-p_j} Kj1=[21(s+pj)3f(s)原形式]′′∣s=−pj

最后，有了上述例子，给出对于任意n重根，第m阶项：
K m = [ 1 m ! ( s + p j ) n f ( s ) 原形式 ] ( m ) ∣ s = − p j K_m=[\frac{1}{m!}(s+p_j)^nf(s)_{原形式}]^{(m)}|_{s=-p_j} Km=[m!1(s+pj)nf(s)原形式](m)∣s=−pj
其系数为求导次数的阶乘的倒数
但考试时大多数为三重根及一下的情况

2. 长除法

将函数 f ( s ) f(s) f(s)化为下列形式：

f ( s ) = ∑ j = 0 m b j s m − j ∑ i = 0 n a i s n − i f(s)=\frac{\sum_{j=0}^mb_js^{m-j}}{\sum_{i=0}^na_is^{n-i}} f(s)=∑i=0naisn−i∑j=0mbjsm−j
注：m为分子阶数即分子最高次数，n为分母阶数即分母最高次数

我们可以使用除法运算方式，用分母除分子即可得到拆项后表达式：
f ( s ) = ∑ a i s m − n − i f(s)=\sum_{}a_is^{m-n-i} f(s)=∑aism−n−i （i从0到m-n）

二、典型物理系统

1. 弹簧-阻尼器力学系统

(1)弹簧：
物理模型：产生的拉力与形变成正比
数学模型： F 弹 F_弹 F弹= K ( x 1 − x 2 ) {K}{(x_1-x_2)} K(x1−x2)

(2)阻尼器：
物理模型：产生的阻力与两端速度差成正比
数学模型： F 阻 F_阻 F阻= B ( x 1 ˙ − x 2 ˙ ) {B}{(\dot{x_1}-\dot{x_2})} B(x1˙−x2˙)

注：
(1)K为弹簧弹性系数， x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2为弹簧两侧位移)
(2)B为阻尼器粘性摩擦系数， x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2为弹簧两侧位移， x 1 ˙ \dot{x_1} x1˙、 x 2 ˙ \dot{x_2} x2˙为位移对时间的导数即速度

2. RLC及运算放大器电路系统

(1)电阻：
物理模型：电压与电流的比值反应了阻碍作用
数学模型： R = U I R= \frac{U}{I} R=IU
拉氏变换阻值：R

(2)电感：
物理模型：电感两端电流不可突变
数学模型： U = L d I d t U=L\frac{dI}{dt} U=LdtdI 或 U = L I ˙ U=L\dot{I} U=LI˙
拉氏变换后感抗： R = L s R=Ls R=Ls

(3)电容:
物理模型：电容两端电压不可突变
数学模型： I = C d U d t I=C\frac{dU}{dt} I=CdtdU 或 I = C U ˙ I=C\dot{U} I=CU˙
拉氏变换后阻抗： R = 1 C s R=\frac{1}{Cs} R=Cs1

(4)运算放大器：
虚短：分析电压（等电位）
虚断：分析电流（开电流）

(5)基尔霍夫电流定律：
物理模型：流入节点电流和=流出节点电流和
数学模型： ∑ I 入 = ∑ I 出 ∑I_入=∑I_出 ∑I入=∑I出

(6)基尔霍夫电压定律:
物理模型：在任何一个闭合回路中，各元件上的电压降的代数和等于电动势的代数和，即从一点出发绕回路一周回到该点时，各段电压的代数和恒等于零
数学模型： ∑ 回路 U = 0 ∑_{回路}U=0 ∑回路U=0

注：R为阻值，I为电流值，U为电压值， U ˙ \dot{U} U˙和 I ˙ \dot{I} I˙分别为电压和电流对时间导数，亦写做 d U d t \frac{dU}{dt} dtdU和 d I d t \frac{dI}{dt} dtdI

3. 齿轮系转动机械系统

暂无

三、系统数学模型

四、典型物理系统数学模型的建立(构建微分方程)⭐⭐⭐

1.根据题设信息找出输入量与输出量
2.根据”三"中物理模型列写公式
3.左出右入：将输出量的n阶导数的线性组合写在等式左侧，输入量的m阶导数的线性组合写在等式右侧

五、拉普拉斯变换⭐⭐

1. 常用函数的拉普拉斯变换

f(t)	F(s)	备注1	备注2
H ( t ) H(t) H(t)	1 1 1	单位脉冲信号	定义中闭环传递函数的输入信号
1 1 1	1 s \frac{1}{s} s1	单位阶跃信号	时域测试信号
t t t	1 s 2 \frac{1}{s^2} s21	单位斜坡信号	时域测试信号
1 2 \frac{1}{2} 21 t 2 t ^2 t2	1 s 3 \frac{1}{s^3} s31	单位抛物线信号	时域测试信号
s i n ( ω t ) sin(ωt) sin(ωt)	ω s 2 + ω 2 \frac{ω}{s^2+ω^2} s2+ω2ω		频域测试信号
c o s ( ω t ) cos(ωt) cos(ωt)	s s 2 + ω 2 \frac{s}{s^2+ω^2} s2+ω2s
e a t e^{at} eat	1 s − a \frac{1}{s-a} s−a1	常用的变换	由衰减定理导出
t e a t te^{at} teat	1 ( s − a ) 2 \frac{1}{(s-a)^2} (s−a)21		由衰减定理导出

2. 常用的拉普拉斯变换定理

	F(t)	laplace(F(t))	备注
延迟定理	f ( t − a ) H ( t − a ) f(t-a)H(t-a) f(t−a)H(t−a)	F ( s ) e − a t F(s)e^{-at} F(s)e−at
衰减定理	f ( t ) e a t f(t)e^{at} f(t)eat	F ( s − a ) F(s-a) F(s−a)
终值定理	lim ⁡ t → ∞ f ( t ) \lim\limits_{t\rightarrow\infty}f(t) t→∞limf(t)	lim ⁡ s → 0 s F ( s ) \lim\limits_{s\to0}sF(s) s→0limsF(s)
初值定理	lim ⁡ s → 0 f ( t ) \lim\limits_{s\to0}f(t) s→0limf(t)	lim ⁡ t → ∞ s F ( s ) \lim\limits_{t\rightarrow\infty}sF(s) t→∞limsF(s)
线性定理1	f ( t ) 1 ± f ( t ) 2 f(t)_1±f(t)_2 f(t)1±f(t)2	F ( t ) 1 ± F ( t ) 2 F(t)_1±F(t)_2 F(t)1±F(t)2	叠加性
线性定理2	a f ( t ) af(t) af(t)	a F ( s ) aF(s) aF(s)	齐次性
一阶微分定理	f ’ ( t ) f^{’}(t) f’(t)	s F ( s ) − f ( 0 ) sF(s)-f(0) sF(s)−f(0)
二阶微分定理	f ’’ ( t ) f^{’’}(t) f’’(t)	s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ’ ( 0 ) s^2F(s)-sf(0)-f^{’}(0) s2F(s)−sf(0)−f’(0)

五、讲解视频

更新中…