1.1数域

数的发展：
1.自然数 Natural Number
2.整数 Integer （自然数+负整数)
3.有理数 Rational Number (整数+分数)
4.实数 Real Number (有理数+无理数)
5.复数 Complex Number (实数+虚数)
6.四元数 Quaternion
……
棣莫夫定理：
z z ′ = ∣ z ∣ ∣ z ′ ∣ ( cos ⁡ ( θ + θ ′ ) + i sin ⁡ ( θ + θ ′ ) ) zz'=|z||z'|(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')) zz′=∣z∣∣z′∣(cos(θ+θ′)+isin(θ+θ′))
由此可得：
z n = ∣ z ∣ n ( cos ⁡ z^n=|z|^n(\cos zn=∣z∣n(cosn θ \theta θ+i sin ⁡ \sin sinn θ ) \theta) θ)
z z ′ = ∣ z ∣ ∣ z ′ ∣ ( cos ⁡ ( θ − θ ′ ) + i sin ⁡ ( θ − θ ′ ) ) \frac{z}{z'}=\frac{|z|}{|z'|}(\cos(\theta-\theta')+i\sin(\theta-\theta')) z′z=∣z′∣∣z∣(cos(θ−θ′)+isin(θ−θ′))

定义1：
方程 x n − 1 = 0 x^n-1=0 xn−1=0 的根称为n次单位根
几何意义：单位元进行 n n n次等分

命题1.1.1
在复数域中，方程 x n − 1 = 0 x^n-1=0 xn−1=0 的根共有n个,他们可表示为 w k = cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n w_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} wk=cosn2kπ+isinn2kπ,
k = 0 , 1 , 2 , … … n − 1 k=0,1,2,……n-1 k=0,1,2,……n−1
定义2：
设 F F F是复数域 C \mathbb{C} C的一个子集，且 0 , 1 ∈ F 0,1\in F 0,1∈F,如果 F F F中任意两个数对于四则运算封闭（除数非零），则称 F F F是一个数域

封闭性：
若非空集合 A A A中有运算" ∘ \circ ∘", ∀ a , b ∈ A \forall a,b\in A ∀a,b∈A,都有 a ∘ b ∈ A a\circ b\in A a∘b∈A,则称集合 A A A关于运算" ∘ \circ ∘"是封闭的

命题
有理数域 Q \mathbb{Q} Q是最小的数域
定义3：
设 R R R是复数域 C \mathbb{C} C的一个子集，且 0 , 1 ∈ R 0,1\in R 0,1∈R.如果R关于运算加减乘封闭，则称 R R R是一个数环

整数环
高斯(Guass)数环 Z ( − 1 ) = { a + b − 1 ∣ a , b ∈ Z } \mathbb{Z}(\sqrt{-1})=\{a+b\sqrt{-1}|a,b\in \mathbb{Z}\} Z(−1 )={a+b−1 ∣a,b∈Z}
艾森斯坦因(Eisenstein) Z ( ω ) = { a + b ω ∣ a , b ∈ Z } \mathbb{Z}(\omega)=\{a+b\omega|a,b\in \mathbb{Z}\} Z(ω)={a+bω∣a,b∈Z}

1.2连加号

∑ i = 1 n a i = a 1 + a 2 + … … + a n \sum_{i=1}^{n}{a_i}=a_1+a_2+……+a_n i=1∑nai=a1+a2+……+an

命题1.2.1
证明： ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m a i j \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}a_{ij} i=1∑mj=1∑naij=j=1∑ni=1∑maij

∏ i = 1 n a i = a 1 a 2 … … a n \prod_{i=1}^{n}a_i=a_1a_2……a_n i=1∏nai=a1a2……an

1.3数学归纳法

最小数公理（良序公理):
自然数集 N \mathbb{N} N的任意一个非空子集 S S S比必含有一个最小数，即 ∃ a ∈ S ， s . t . ∀ c ∈ S , c ≥ a . \exists a\in S，s.t.\forall c\in S,c\geq a. ∃a∈S，s.t.∀c∈S,c≥a.

定理1(第一数学归纳法):
设有一个与自然数 n n n有关的命题，如果
(1)当 n = 0 n=0 n=0时，命题成立；
(2)假设 n = k n=k n=k时成立，则 n = k + 1 n=k+1 n=k+1时也成立；
则命题对所有自然数成立
定理2(第二数学归纳法):
设有一个与自然数 n n n有关的命题，如果
(1)当 n = 0 n=0 n=0时，命题成立；
(2)假设命题对所有小于 k k k的自然数成立，则命题对 n = k n=k n=k也成立；
则命题对所有自然数成立

1.4一元多项式的概念

次数：记作 d e g ( f ( x ) ) deg(f(x)) deg(f(x))或 ∂ ( f ( x ) ) \partial(f(x)) ∂(f(x))
定义1：
设多项式 f ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i f(x)=\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i} f(x)=∑i=0naixi和 g ( x ) = ∑ j = 0 m b j x j , n ≥ m g(x)=\sum_{j=0}^{m}{b_jx^j},n\geq m g(x)=∑j=0mbjxj,n≥m,则多项式的加法减法定义如下 f ( x ) + g ( x ) = ∑ i = 0 n ( a i + b i ) x i f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^{n}{(a_i+b_i)x^i} f(x)+g(x)=i=0∑n(ai+bi)xi f ( x ) g ( x ) = ∑ s = 0 n + m ( ∑ i + j = s a i b j ) x s f(x)g(x)=\sum_{s=0}^{n+m}{(\sum_{i+j=s}a_ib_j)x^s} f(x)g(x)=s=0∑n+m(i+j=s∑aibj)xs
- 多项式的加法满足：交换律，结合律，零元率，负元率
- 多项式的乘法满足：交换律，结合律，分配律，消去律
命题1.4.1
设 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)是数域 F F F上的任意两个多项式，则 ∂ ( f ( x ) + g ( x ) ) ≤ m a x { ∂ ( f ( x ) ) , ∂ ( g ( x ) ) } \partial(f(x)+g(x))\leq max\{\partial(f(x)),\partial(g(x))\} ∂(f(x)+g(x))≤max{∂(f(x)),∂(g(x))} ∂ ( f ( x ) g ( x ) ) = ∂ ( f ( x ) ) + ∂ ( g ( x ) ) \partial(f(x)g(x))=\partial(f(x))+\partial(g(x)) ∂(f(x)g(x))=∂(f(x))+∂(g(x))
定义2：
数域 F F F上的一元多项式的全体，连同定义1.4.3中定义的加法和乘法运算，称为数域 F F F上的一元多项式环，记作 F [ x ] F[x] F[x].

1.5整除

定理1(欧式除法)：
对任意的 f ( x ) , g ( x ) ∈ F [ x ] f(x),g(x)\in F[x] f(x),g(x)∈F[x],且 g ( x ) ≠ 0 g(x)\neq 0 g(x)=0,存在唯一的 q ( x ) , r ( x ) q(x),r(x) q(x),r(x),使得 f ( x ) = q ( x ) g ( x ) + r ( x ) f(x)=q(x)g(x)+r(x) f(x)=q(x)g(x)+r(x)其中 ∂ ( r ( x ) ) < ∂ ( g ( x ) ) \partial(r(x))<\partial(g(x)) ∂(r(x))<∂(g(x)),或者 r ( x ) = 0 r(x)=0 r(x)=0
定理2(判定定理)：
对任意的 f ( x ) , g ( x ) ∈ F [ x ] , g ( x ) ≠ 0 f(x),g(x)\in F[x],g(x)\neq0 f(x),g(x)∈F[x],g(x)=0,则 g ( x ) ∣ f ( x ) g(x)\mid f(x) g(x)∣f(x)的充要条件是余式 r ( x ) = 0 r(x)=0 r(x)=0
定理3(性质定理)：
任意的 f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) ∈ F [ x ] f(x),g(x),h(x)\in F[x] f(x),g(x),h(x)∈F[x],我们有
- 若 f ( x ) ∣ g ( x ) f(x)\mid g(x) f(x)∣g(x)且 g ( x ) ∣ f ( x ) g(x)\mid f(x) g(x)∣f(x),则 f ( x ) = c g ( x ) f(x)=cg(x) f(x)=cg(x),其中 0 ≠ c ∈ F 0\neq c\in F 0=c∈F;
- 若 f ( x ) ∣ g ( x ) , g ( x ) ∣ h ( x ) f(x)\mid g(x),g(x)\mid h(x) f(x)∣g(x),g(x)∣h(x),则 f ( x ) ∣ h ( x ) f(x)\mid h(x) f(x)∣h(x);
- 若 f ( x ) ∣ g i ( x ) , i = 1 , 2 , … , s f(x)\mid g_i(x),i=1,2,…,s f(x)∣gi(x),i=1,2,…,s，则 f ( x ) ∣ ∑ i = 1 s u i ( x ) g i ( x ) , ∀ u i ∈ F [ x ] f(x)\mid \sum_{i=1}^{s}{u_i(x)g_i(x)},\forall u_i\in F[x] f(x)∣i=1∑sui(x)gi(x),∀ui∈F[x]
例1.5.3
证明： ( x d − 1 ) ∣ ( x n − 1 ) (x^d-1)\mid (x^n-1) (xd−1)∣(xn−1)的充要条件是 d ∣ n d\mid n d∣n

1.6最大公因式

定义1：
设 f ( x ) , g ( x ) ∈ F [ x ] f(x),g(x)\in F[x] f(x),g(x)∈F[x],则 d ( x ) ∈ F [ x ] d(x)\in F[x] d(x)∈F[x]称为 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)的一个最大公因式，如果:
- d ( x ) d(x) d(x)是 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)的公因式
- 若 c ( x ) c(x) c(x)是 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)的任一公因式，则 c ( x ) ∣ d ( x ) c(x)\mid d(x) c(x)∣d(x)
引理1：
若 f ( x ) = g ( x ) q ( x ) + r ( x ) f(x)=g(x)q(x)+r(x) f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，则 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)和 g ( x ) , r ( x ) g(x),r(x) g(x),r(x)有相同的公因式
注：
我们常把首项系数位1的最大公因式,即首一多项式
记为 g c d ( f ( x ) , g ( x ) ) 或（ f ( x ) , g ( x ) ) gcd(f(x),g(x))或（f(x),g(x)) gcd(f(x),g(x))或（f(x),g(x))
定理1：
对 ∀ f ( x ) , g ( x ) ∈ F [ x ] \forall f(x),g(x)\in F[x] ∀f(x),g(x)∈F[x], f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)的最大公因式存在
定理2：
设 f ( x ) , g ( x ) ∈ F [ x ] f(x),g(x)\in F[x] f(x),g(x)∈F[x],则 d ( x ) d(x) d(x) f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x) d ( x ) d(x) d(x) f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x) μ ( x ) , ν ( x ) ∈ F [ x ] \mu(x),\nu(x)\in F[x] μ(x),ν(x)∈F[x],使得 d ( x ) = μ ( x ) f ( x ) + ν ( x ) g ( x ) d(x)=\mu(x)f(x)+\nu(x)g(x) d(x)=μ(x)f(x)+ν(x)g(x)
定义2:
设 f ( x ) , g ( x ) ∈ F [ x ] f(x),g(x)\in F[x] f(x),g(x)∈F[x]是数域 F F F上的两个多项式，如果 ( f ( x ) , g ( x ) ) = 1 (f(x),g(x))=1 (f(x),g(x))=1，则称 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)互素
定理3（判定定理）：
设 f ( x ) , g ( x ) ∈ F [ x ] f(x),g(x)\in F[x] f(x),g(x)∈F[x]，则 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)互素的充要条件是 ∃ μ ( x ) , ν ( x ) ∈ F [ x ] \exists\mu(x),\nu(x)\in F[x] ∃μ(x),ν(x)∈F[x]，使得： μ ( x ) f ( x ) + ν ( x ) g ( x ) = 1 \mu(x)f(x)+\nu(x)g(x)=1 μ(x)f(x)+ν(x)g(x)=1.
定理1.6.4（性质定理）：
设 f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) , f 1 ( x ) , g 1 ( x ) ∈ F [ x ] f(x),g(x),h(x),f_1(x),g_1(x)\in F[x] f(x),g(x),h(x),f1(x),g1(x)∈F[x]，我们有
- 若 ( f ( x ) , g ( x ) ) = d ( x ) ≠ 0 (f(x),g(x))=d(x)\neq0 (f(x),g(x))=d(x)=0,设 f ( x ) = f 1 ( x ) d ( x ) , g ( x ) = g 1 ( x ) d ( x ) f(x)=f_1(x)d(x),g(x)=g_1(x)d(x) f(x)=f1(x)d(x),g(x)=g1(x)d(x),则 ( f 1 ( x ) , g 1 ( x ) ) = 1 (f_1(x),g_1(x))=1 (f1(x),g1(x))=1
- 若 ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) = 1 ， ( f 2 ( x ) , g ( x ) ) = 1 (f_1(x),g(x))=1，(f_2(x),g(x))=1 (f1(x),g(x))=1，(f2(x),g(x))=1，则 ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) , g ( x ) ) = 1 (f_1(x)f_2(x),g(x))=1 (f1(x)f2(x),g(x))=1
- 若 ( f ( x ) , g ( x ) ) = 1 (f(x),g(x))=1 (f(x),g(x))=1且 f ( x ) ∣ g ( x ) h ( x ) f(x)\mid g(x)h(x) f(x)∣g(x)h(x),则 f ( x ) ∣ h ( x ) f(x)\mid h(x) f(x)∣h(x)
- 若 f 1 ( x ) ∣ g ( x ) , f 2 ( x ) ∣ g ( x ) f_1(x)\mid g(x),f_2(x)\mid g(x) f1(x)∣g(x),f2(x)∣g(x),且 ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ) = 1 (f_1(x)f_2(x))=1 (f1(x)f2(x))=1,则 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ∣ g ( x ) f_1(x)f_2(x)\mid g(x) f1(x)f2(x)∣g(x)

1.7韦达定理

定理1.7.1（韦达定理）：
设 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n α1,α2,…,αn为 f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 0 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_0 f(x)=anxn+an−1xn−1+…+a0的 n n n个负根，则 ( − 1 ) k a n − k a n = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < … < i k ≤ n α i 1 α i 2 … α i k , k = 1 , 2 , … ， n . (-1)^k\frac{a_n-k}{a_n}=\sum_{1\leq i_1<i_2<…<i_k\leq n}{\alpha_{i_1}\alpha_{i_2}…\alpha_{i_k}},k=1,2,…，n. (−1)kanan−k=1≤i1<i2<…<ik≤n∑αi1αi2…αik,k=1,2,…，n.

1.8等价关系

定义1.8.1:
设A,B是任意两个非空集合.卡氏积 A × B A\times B A×B的每一个子集 R R R都称为一个从 A A A到 B B B的 (二元)关系.

特别地，集合A上的一个二元关系指的是卡氏积 A × A = { ( a , b ) ∣ a , b ∈ A } A\times A=\{(a,b)\mid a,b\in A\} A×A={(a,b)∣a,b∈A}的一个子集R.若 ( a , b ) ∈ R (a,b)\in R (a,b)∈R,则称 a a a与 b b b符合关系 R R R,记作 a R b aRb aRb.

定义1.8.2：
集合A上的一个二元关系R称为A上的等价关系(通常记作~)，如果

自反性 ∀ a ∈ A , ( a , a ) ∈ R \forall a\in A,(a,a)\in R ∀a∈A,(a,a)∈R
对称性若 ( a , b ) ∈ R (a,b)\in R (a,b)∈R,则 ( b , a ) ∈ R (b,a)\in R (b,a)∈R
传递性若 ( a , b ) ∈ R , ( b , c ) ∈ R (a,b)\in R,(b,c)\in R (a,b)∈R,(b,c)∈R,则 ( a , c ) ∈ R (a,c)\in R (a,c)∈R

等价类:设~是集合 A A A上的一个等价关系，记 A A A的子集 [ a ] = { b ∈ A , b ∽ a } [a]=\{b\in A,b\backsim a\} [a]={b∈A,b∽a}称为元素a的等价类
划分:将集合 A A A分成若干个子集的不交并,这些子集的全体称为集合 A A A的一个划分

定理1.8.1
集合 A A A的一个划分决定了 A A A上的一个等价关系；反之， A A A上的一个等价关系决定了 A A A的一个划分

参考书籍：高等代数（科学出版社）

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【高等代数】第一章预备知识

预备知识

1.1数域

1.2连加号

1.3数学归纳法

1.4一元多项式的概念

1.5整除

1.6最大公因式

1.7韦达定理

1.8等价关系

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