2021年春季学期-信号与系统-第十五次作业参考答案-第三小题参考答案
本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十五次作业参考答案 中各小题的参考答案。
§03 第三小题
3、 序列x[n]x\left[ n \right]x[n]的长度为8192。已知一台计算机每次的实数乘法和加分的时间分别为20微秒和4微秒，求直接计算DFT[x[n]]DFT\left[ {x\left[ n \right]} \right]DFT[x[n]]快速傅里叶变换计算各需要多少时间。
▓ 求解
长度为N,N 恰好是2的整数次幂的数，对应对应的DFT的复数乘法和加分分别是：
N2,N(N−1)N^2 ,\,\,\,N\left( {N - 1} \right)N2,N(N−1)
对应的FFT的复数乘法和加分分别是：
N2log2N,Nlog2N{N \over 2}\log _2 N,\,\,\,N\log _2 N2Nlog2N,Nlog2N
那么对应的实数乘法和加法分别是：
- DFT : 4N2,4N2−2N4N^2 ,\,\,\,4N^2 - 2N4N2,4N2−2N
- FFT : 2Nlog2N,3Nlog2N2N\log _2 N,\,\,\,3N\log _2 N2Nlog2N,3Nlog2N
注：对于复数乘法，包含四次实数乘法，两次实数加法。所以在前面考虑加法的时候，需要加上由复数乘法多出的加法次数。
相应的运算时间分别为：
- DFT : 20⋅4N2+4⋅(4N2−2N)μs20 \cdot 4N^2 + 4 \cdot \left( {4N^2 - 2N} \right)\,\,\,\mu s20⋅4N2+4⋅(4N2−2N)μs
- FFT： 20⋅2Nlog2N+4⋅3Nlog2Nμs20 \cdot 2N\log _2 N + 4 \cdot 3N\log _2 N\,\,\mu s20⋅2Nlog2N+4⋅3Nlog2Nμs
计算得出所需要的是时间分别约为：
- DFT：6173.3 (s)
- FFT：5.537 (s)
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