P2522 HAOI2011

题意

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)(x,y)(x,y)，满足a≤x≤ba≤x≤ba≤x≤b，c≤y≤dc≤y≤dc≤y≤d，且gcd(x,y)=kgcd(x,y) = kgcd(x,y)=k，gcd(x,y)gcd(x,y)gcd(x,y)函数为xxx和yyy的最大公约数.

题解

即求式子∑x=ab∑y=cd[gcd(x,y)=k]\sum_{x=a}^b\sum_{y=c}^d[gcd(x,y)=k]∑x=ab∑y=cd[gcd(x,y)=k].

记f(n,m)=∑x=1n∑y=1m[gcd(x,y)=k]f(n,m)=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m[gcd(x,y)=k]f(n,m)=∑x=1n∑y=1m[gcd(x,y)=k]

根据二维前缀和公式,可以将式子转换成:

∑x=ab∑y=cd[gcd(x,y)=k]=f(b,d)+f(a−1,c−1)−f(a−1,d)−f(b,c−1)\sum_{x=a}^b\sum_{y=c}^d[gcd(x,y)=k]=f(b,d)+f(a-1,c-1)-f(a-1,d)-f(b,c-1)∑x=ab∑y=cd[gcd(x,y)=k]=f(b,d)+f(a−1,c−1)−f(a−1,d)−f(b,c−1)

因此我们只要能得到f(n,m)f(n,m)f(n,m)的计算方法即可.

求f(n,m)f(n,m)f(n,m)的套路非常明显:莫比比乌斯反演

由于∑k∣d∑x=1n∑y=1m[gcd(x,y)=d]=⌊nk⌋⌊mk⌋\sum_{k|d}\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m[gcd(x,y)=d] = \lfloor \frac{n}{k} \rfloor \lfloor \frac{m}{k} \rfloor∑k∣d∑x=1n∑y=1m[gcd(x,y)=d]=⌊kn⌋⌊km⌋.

反演得到f(n,m)=∑k∣dμ(dk)⌊nd⌋⌊md⌋f(n,m)=\sum_{k|d}\mu(\frac{d}{k})\lfloor \frac{n}{d} \rfloor \lfloor \frac{m}{d} \rfloorf(n,m)=∑k∣dμ(kd)⌊dn⌋⌊dm⌋

令t=d/kt = d/kt=d/k.

f(n,m)=∑t=1n/dμ(t)⌊nkt⌋⌊mkt⌋f(n,m)=\sum_{t=1}^{n/d}\mu(t)\lfloor \frac{n}{kt} \rfloor \lfloor \frac{m}{kt} \rfloorf(n,m)=∑t=1n/dμ(t)⌊ktn⌋⌊ktm⌋

对上式子进行分块计算,可以将时间复杂度从O(n)O(n)O(n)降至O(n)O(\sqrt{n})O(n).

总结

对于形如f(x)=∑x∣dμ(dx)g(⌊nd⌋)f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})g(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)f(x)=∑x∣dμ(xd)g(⌊dn⌋)这样的式子,我们都可以用t=d/xt=d/xt=d/x代换后数论分块进行加速.

f(x)=∑t=1n/xμ(t)g(⌊nxt⌋)f(x)=\sum_{t=1}^{n/x}\mu(t)g(\lfloor \frac{n}{xt} \rfloor)f(x)=∑t=1n/xμ(t)g(⌊xtn⌋)

时间复杂度从O(n)O(n)O(n)降至O(n)O(\sqrt{n})O(n).

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define pr(x) std::cout << #x << ':' << x << std::endl
#define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)const int N = 50000;int prime[N+10],zhi[N+10],mu[N+10],pcnt;void sieve() {zhi[1] = mu[1] = 1;for(int i = 2;i <= N;++i) {if(!zhi[i]) {mu[i] = -1;prime[pcnt++] = i;}for(int j = 0;j < pcnt && prime[j]*i <= N;++j) {zhi[i*prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0) {mu[i*prime[j]] = 0;break;}else mu[i*prime[j]] = -mu[i];}}for(int i = 1;i <= N;++i) mu[i] += mu[i-1];
}
int a,b,c,d,k,T;
int calc(int n,int m) {int ans = 0;int lim = std::min(n/k,m/k);for(int i = 1,nx1,nx2,nxt;i <= lim;i=nxt+1) {nx1 = n/(n/i);nx2 = m/(m/i);nxt = nx1>nx2?nx2:nx1;ans += (mu[nxt]-mu[i-1])*(n/i/k)*(m/i/k);}return ans;
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);sieve();std::cin >> T;while(T--) {std::cin >> a >> b >> c >> d >> k;int ans = calc(b,d)+calc(a-1,c-1)-calc(a-1,d)-calc(b,c-1);std::cout << ans << std::endl;}return 0;
}

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