Luogu P6055 [RC-02] GCD（莫比乌斯反演，杜教筛）（这题乐死我了，真就图一乐呗）

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Weblink

https://www.luogu.com.cn/problem/P6055

Problem

给出 NNN，求：

∑i=1N∑j=1N∑p=1⌊Nȷ⌋∑q=1⌊Nj⌋[gcd⁡(i,j)=1][gcd⁡(p,q)=1]\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \sum_{p=1}^{\left\lfloor\frac{N}{\jmath}\right\rfloor} \sum_{q=1}^{\left\lfloor\frac{N}{j}\right\rfloor}[\operatorname{gcd}(i, j)=1][\operatorname{gcd}(p, q)=1] i=1∑Nj=1∑Np=1∑⌊ȷN⌋q=1∑⌊jN⌋[gcd(i,j)=1][gcd(p,q)=1]

答案模 998244353998244353998244353。

Solution

这题真是乐死我了，真就图一乐呗

上来怎么看这个 jjj 怎么不顺眼，这不先把 jjj 直接丢回去？？？

然后这题就没了…

随便反演一下，杜教筛随便搞搞就完事了

∑i=1N∑j=1N∑p=1⌊Nj⌋∑q=1⌊Nj⌋[gcd⁡(i,j)=1][gcd⁡(p,q)=1]=∑i=1N∑j=1N∑p=1N∑q=1N[gcd⁡(i,j)=1][gcd⁡(p,q)=j]=∑i=1N∑p=1N∑q=1N[gcd⁡(i,p,q)=1]=∑i=1N∑p=1N∑q=1N∑d∣gcd⁡(i,p,q)μ(d)=∑d=1N∑i=1N∑p=1N∑q=1N[d∣i][d∣p][d∣q]μ(d)=∑d=1N∑i=1⌊Nd⌋∑p=1⌊Nd⌋∑q=1⌊Nd⌋μ(d)=∑d=1Nμ(d)⌊Nd⌋3\begin{aligned} &\ \ \ \ \ \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sum_{p=1}^{\left\lfloor\frac N j\right\rfloor}\sum_{q=1}^{\left\lfloor\frac N j\right\rfloor}[\gcd(i, j)=1][\gcd(p, q)=1]&\\& =\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sum_{p=1}^{N}\sum_{q=1}^{N}[\gcd(i, j)=1][\gcd(p, q)=j]&\\& =\sum_{i=1}^N\sum_{p=1}^{N}\sum_{q=1}^{N}[\gcd(i, p,q)=1]&\\& =\sum_{i=1}^N\sum_{p=1}^{N}\sum_{q=1}^{N}\sum_{d\mid \gcd(i,p,q)}\mu(d)&\\& =\sum_{d=1}^N\sum_{i=1}^N\sum_{p=1}^{N}\sum_{q=1}^{N}[d\mid i][d\mid p][d\mid q]\mu(d)&\\& =\sum_{d=1}^N\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac N d\right\rfloor }\sum_{p=1}^{\left\lfloor\frac N d\right\rfloor }\sum_{q=1}^{\left\lfloor\frac N d\right\rfloor}\mu(d)&\\& =\sum_{d=1}^N\mu(d)\left\lfloor\frac N d\right\rfloor^3 \end{aligned} i=1∑Nj=1∑Np=1∑⌊jN⌋q=1∑⌊jN⌋[gcd(i,j)=1][gcd(p,q)=1]=i=1∑Nj=1∑Np=1∑Nq=1∑N[gcd(i,j)=1][gcd(p,q)=j]=i=1∑Np=1∑Nq=1∑N[gcd(i,p,q)=1]=i=1∑Np=1∑Nq=1∑Nd∣gcd(i,p,q)∑μ(d)=d=1∑Ni=1∑Np=1∑Nq=1∑N[d∣i][d∣p][d∣q]μ(d)=d=1∑Ni=1∑⌊dN⌋p=1∑⌊dN⌋q=1∑⌊dN⌋μ(d)=d=1∑Nμ(d)⌊dN⌋3

%
时间复杂度 O(n23)O(n^{\frac 2 3})O(n32)。

20分钟水一道紫题 ^q^

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int maxn = 2e6 + 7, mod = 998244353;ll n, m, s, t;
ll ans;
int primes[maxn], cnt;
bool vis[maxn];
ll mu[maxn];
unordered_map <ll, ll> sum_mu;void prework(int n)
{mu[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++ i) {if(vis[i] == 0) {primes[ ++ cnt] = i;mu[i] = -1;}for (int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j) {vis[i * primes[j]] = 1;if(i % primes[j] == 0) break;mu[i * primes[j]] -= mu[i];}}for (int i = 1; i <= n; ++ i) {mu[i] += mu[i - 1];}
}int g_sum(int x)
{return x;
}inline int get_sum_mu(int x)
{if(x <= maxn - 10) return mu[x];if(sum_mu.find(x) != sum_mu.end()) return sum_mu[x];ll ans = 1;for (ll l = 2, r; l <= x; l = r + 1) {r = x / (x / l);ans -= (g_sum(r) - g_sum(l - 1)) * get_sum_mu(x / l);}return sum_mu[x] = ans / g_sum(1);
}int main()
{//  int ^q^; prework(maxn - 7);t = 1;while(t -- ) {ans = 0;scanf("%lld", &n);for (ll l = 1, r = 0; l <= n; l = r + 1) {r = n / (n / l);ll _ = (n / l) * (n / l) % mod * (n / l) % mod; ans = (ans + (get_sum_mu(r) - get_sum_mu(l - 1) + mod) % mod * _ % mod) % mod;}printf("%lld\n", ans);}return 0;
}

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