傅里叶级数(FS)

周期为 T 的函数$f(t),\ \ \omega=\frac{2\pi}{T}$. 正交基为$\{ e^{jn\omega t} \},n=0,\pm1,\pm2,\cdots$。

$$

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{-j\omega nt} \\

C_n=\frac{}{}=\frac{\int_Tf(t)e^{-jn\omega t}dt}{\int_T e^{jn\omega t}e^{-jn\omega t}dt}=\frac{1}{T}\int_Tf(t)e^{-jn\omega t}dt

$$

连续时间的傅里叶变换(FT)

$$

F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt \\

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{j\,\omega t}d\omega

$$

离散时间序列的傅里叶变换(DTFT)

它用于离散非周期序列分析对应频域连续周期(周期为 $2\pi$)，条件是 $x(n)$ 绝对可和 或者 能量有限，即 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|< \infty  \qquad  \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2< \infty $。

$$   X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega \,n}     \qquad   (1)       \\ x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega   \qquad  (2)    $$

式(1)中，$\omega$ 为数字角频率，它是模拟域频率 $\Omega$ 对采样频率 $f_s$ 的归一化，即 $\omega = \Omega T_s = \Omega / f_s $

Z变换

由$\quad z = e^{j\omega} \ $代入上式得

$$  X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}  $$

周期序列的离散傅里叶级数(DFS)

x(n) 是周期为 N 的周期序列，可以看做X(k)的傅里叶级数频域展开，离散周期 ---> 周期离散，周期都为N。

$$  \tilde X (k)=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde x(n)W_{N}^{nk} \qquad \qquad k \in \mathbb{Z} \\   \tilde x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \tilde X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \tilde X(k)W_N^{-nk}  \qquad \qquad n \in \mathbb{Z} \\  W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}                          $$

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)

x(n) 为有限长序列，长度为 N 。其他值都为 0 。

$$  X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{-nk} \qquad 0\leqslant k \leqslant N-1  \\  x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk} \qquad 0\leqslant n \leqslant N-1  $$

DFT 与 DTFT 、z变换 的关系

$$  X(k) =X(e^{j\omega})|_{\omega =\frac{2\pi}{N}k}  \\  X(k) = X(z)|_{z=W_N^{-k}}  $$

Matlab仿真信号的抽样，CFT，DFT 和 FFT

ts=0.5; %采样时间间隔

df=1.0;

fs = 1/ts; %采样频率

n2 = 50/ts; %time=[0,50]之间采样

n1 = fs/df;

N = 2^(max(nextpow2(n1),nextpow2(n2))); %nextpow2(N) returns the first P such that 2.^P >= abs(N).

%当序列是2的幂次方时，FFT高效

df = fs/N; %设置分辨率

t = 0:0.01:50;

y = cos(2/5*pi*t);

subplot(2,2,1);

plot(t,y,'k:'); %绘制余弦信号

hold on

t2=0:ts:50;

y2=cos(2/5*pi*t2);

stem(t2,y2,'k'); % 画火柴杆图，对余弦信号抽样

axis([0 10 -1.2,1.2]);

title('抽样信号: \rm x_{s}(t)');

xlabel('t');

line([0 10],[0 0],'color',[0 0 0]);

hold off

k=-N:N;

w = df*k;

Y = 0.01*y*exp(-j*2*pi*t'*w);% 计算CFT

Y=abs(Y);

subplot(2,2,2);

plot(w,Y,'k');

axis([-fs/2-0.5,fs/2+0.5,0,8*pi+0.5]);

title('连续傅里叶变换: X(f)');

xlabel('f');

subplot(2,2,3);

Y1=y2*exp(-j*2*pi*t2'*w); % 计算离散傅里叶变换

Y1=Y1/fs;

plot(w,abs(Y1),'k');

title('离散傅里叶变换 \rm X_{s}(f)');

xlabel('f');

axis([-fs/2-1,fs/2+1,0,8*pi+0.5]);

Y2=fft(y2,N); %使用FFT计算离散傅里叶变换

Y2=Y2/fs;

f=[0:df:df*(N-1)]-fs/2; %调整频率坐标

subplot(2,2,4);

plot(f,fftshift(abs(Y2)),'k');

axis([-fs/2-0.5,fs/2+0.5,0,8*pi+0.5]);

title('快速傅里叶变换：\rm X_{s}(f) ');

xlabel('f');

由此可见，FFT 可以很好地表现 CFT 的频谱图。计算又快，所以用抽样信号的 FFT 代替 连续信号的 CFT。