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子图同构定义
子图同构的映射关系
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谨以此片献给 my best love, grandpa.

时光匆匆流逝，我们永远无能为力，我能做的就是脚踏实地，变成你的骄傲~和你在一起的时光，是我所有的宝藏。从你身上继承的美好品质，我要努力把它变得更加迷人。如果时空真的可以扭转，我希望有个奇点，我们可以一直在一起不分开。

1.子图同构定义

我使用的定义是来自这篇参考文献：
http://theory.stanford.edu/~virgi/cs267/lecture1.pdf

假设有两个图 H=(VH,EH)H = (V_{H}, E_{H}) 和图 G=(V,E)G = (V,E) 子图同构即从H到G存在这样一个函数 f:VH→Vf : V_{H}\rightarrow V 并且 (u,v)∈EH(u,v) \in E_ {H} 使得 (f(u),f(v))∈E(f(u),f(v))\in E 同样成立 f f 叫做子图同构的一个映射。

不过我觉得wiki讲的更好，子图同构定义
是英文的，如果你看英文不成问题的话，可以仔细看。
我觉得看英文的这个还是很锻炼的，毕竟我们不是native speaker.

2.子图同构的映射关系

说明，在这里的图，我们考虑的是没有标签的图。只有顶点序号的图。
如下图，左图与右图子图同构：

我们看一下他们存在的一种映射关系：

我们把左边的图叫做图 AA,把右边的图叫做图 BB

用 MA,MB MA, MB分别表示左图 A,A, 和右图 BB 的对应的邻接矩阵，其中MA[i][j]=1 MA[i][j]=1表示顶点viv_{i}与vjv_{j}存在一条边，A[i][j]=0A[i][j]=0 表示无边. M' M′表示映射g从MAMA到MBMB的映射矩阵，M'[i][j]=1M′[i][j]=1 表示 AA中第ii个顶点vivi对应到MBMB 中的第jj个顶点，否则为0表示没有对应

根据我们上面的例子，我们来描述一下在Ullmann algorithm 算法中的一个定理

定理1：
如果图AA关于映射ff子图同构与图BB,令

MC=M′(M′MB)T

MC = M^{'} (M^{'}MB)^{T}
其中T表示的是矩阵的转置。

则有:

在A矩阵中是1的地方在C矩阵中也要为1

根据定理一 MC=M′(M′MB)TMC = M^{'} (M^{'}MB)^{T} 我们可以计算得到MC的矩阵值：

所以我们找到的映射矩阵M′M^{'}是一个满足图AA 和图 BB子图同构的矩阵。

下面我们来亲自实践一遍这个过程：

由于这两个图的子图同构的映射比较好找出来，刚才我们就找出来一组，就是这个例子，

那我我们可以很容易的构建出子图同构的映射矩阵 M'M′。

下面我们要做的事情就是看有没有这样一个MC 满足我们的定理1。

我们找的映射矩阵完全满足我们的要求能构造出我们的MC，其实MC对应的就是我们的矩阵MB当中的一块，如果你仔细观察可以发现：

我们发现其实第4列和第1列是完全一致的，这个时候调换一下位置，可以发现下面的规律：

这个时候我们可以找到另外一种映射关系，如下图所示：

那么，这个时候问题就来了，有没有下面这种可能呢：

那么它对应的映射矩阵就是下面这个样子的：

我们来亲自实践一下：

这个时候我们发现我们找到的MC是满足定理1的，那就是我们找的映射矩阵是其中的一个同构映射。

其实根据图论中的子图同构的定义，我们发现，只要点对点，边对边是一致的，那么这两个图就是子图同构，他是NPC（NP complete）问题。

如果我们的图是没有被设置标签的，标签就是图中的A，B，C这些，在有的时候如果我们的图已经被设置了标签，那就要求两个比较的图的点对点，边对边，标签对标签要形成双射，也就是单射和满射。

如果这样的情况，就像下面两个博客说的一样是存在两个映射，如果这个图的点或者是边没有被设置标签，那么和图AA它同构的子图就要很多我们可以在图BB中找到。

http://www.cnblogs.com/huadongw/p/4154295.html
http://blog.csdn.net/luo123n/article/details/49787183

并不是只有两个子图同构的映射，这两个图中有很多的子图同构的映射。

Reference

http://www.cnblogs.com/huadongw/p/4154295.html

今天写这个花了两个小时，手已经抓了

写在后面的话

我望着碧海蓝天看云朵在兜圈
慢慢兜成你的淘气鬼脸忽近忽远

微风在摇手轻吹阳光睡在我的右侧脸
我笑着脸去迎接你给的誓~言
YA~~~~~~~

没发现紫外线太强烈我爱你没有防备
等你牵手带着我漫游世界幸福快乐瞬间一起体会

没发现紫外线太强烈后知后觉的逃远
我们躲在秘密的空中花园爱情蝴蝶也和我们相约

眼圈熬成黑看你更深邃
只怕还不够爱 Time’s going by

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