线性时不变系统以及响应的分类

系统：系统就是指得到一个激励信号e(t)e(t)e(t)后，输出一个响应信号r(t)r(t)r(t)。(e:encourage;r:response)
这和我们平常的函数概念比较相似，给定一个变量xxx，通过一个映射fff，输出了一个yyy。

线性：满足数乘和加法性质就是线性。下面给出明确定义。
一个系统，当其输入为ei(t)e_i(t)ei(t)时，其输出为ri(t)r_i(t)ri(t)。若其满足以下两个条件：

数乘：输入为ke(t)ke(t)ke(t)时，输出为kr(t)kr(t)kr(t)。
加法：输入为e1(t)+e2(t)e_1(t)+e_2(t)e1(t)+e2(t)时，输出为r1(t)+r2(t)r_1(t)+r_2(t)r1(t)+r2(t)

那么称这个系统为线性系统。

时不变：
一个系统，当其输入为e(t)e_(t)e(t)时，其输出为r(t)r_(t)r(t)。若其满足以下条件：

当输入为为e(t−t0)e(t-t_0)e(t−t0)时，其输出为r(t−t0)r_(t-t_0)r(t−t0)。

那么称这个系统为时不变系统。

有人似乎觉得这个时不变天经地义，实则不然。举个例子：
假设一个系统是这样的：r(t)=te(t)r(t)=te(t)r(t)=te(t)。
那么当e0(t)e_0(t)e0(t)输入这个系统的时候，响应为r0(t)=te0(t)r_0(t)=te_0(t)r0(t)=te0(t)。
我们对e0(t)e_0(t)e0(t)这个信号做一个时延，变为e1(t)=e0(t−t0)e_1(t)=e_0(t-t_0)e1(t)=e0(t−t0)，那么当e1(t)e_1(t)e1(t)输入这个系统的时候，响应为r1(t)=te1(t)=te0(t−t0)r_1(t)=te_1(t)=te_0(t-t_0)r1(t)=te1(t)=te0(t−t0)。

而按照时不变的定义，输入为e1(t)=e0(t−t0)e_1(t)=e_0(t-t_0)e1(t)=e0(t−t0)时，输出应该为r1(t)=r0(t−t0)=(t−t0)e0(t−t0)r_1(t)=r_0(t-t_0)=(t-t_0)e_0(t-t0)r1(t)=r0(t−t0)=(t−t0)e0(t−t0)，这与上面矛盾。所以这个系统就不是时不变系统。

综上，满足以上两个条件的系统称为线性时不变系统(LTI),linear time-invariant。

特殊性质:
如果一个系统为LTI，且输入为e(t)e(t)e(t)时，响应为r(t)r(t)r(t)。那么有：

微分：输入为e′(t)e^{'}(t)e′(t)时，其响应为r′(t)r^{'}(t)r′(t)。
积分：输入为∫e(t)dt\int e(t)dt∫e(t)dt时，其响应为∫r(t)dt\int r(t)dt∫r(t)dt。

下面只证明第一个，第二个类似可证：
设Δt!=0\Delta t\ !=0Δt !=0，那么有：当输入为e(t+Δt)−e(t)Δt\frac{e(t+\Delta t)-e(t)}{\Delta t}Δte(t+Δt)−e(t)时，由于系统是LTI，那么有响应为r(t+Δt)−r(t)Δt\frac{r(t+\Delta t)-r(t)}{\Delta t}Δtr(t+Δt)−r(t)，那么随着Δt\Delta tΔt越来越小，不就成了导数吗？

响应的分类：
有的线性系统本身固有一个输入x(0)x(0)x(0)，然后你又施加了一个输入激励e(t)e(t)e(t)，那么根据线性系统的加法性质，响应可以拆解为r(t)=rx(t)+re(t)r(t)=r_x(t)+r_e(t)r(t)=rx(t)+re(t)。
零输入响应：rx(t)r_x(t)rx(t)
零状态响应：re(t)r_e(t)re(t)
完全响应：rx(t)+re(t)r_x(t)+r_e(t)rx(t)+re(t)

思考练习：
注：下面的f(x)f(x)f(x)就是我上面的e(t)e(t)e(t),y(t)y(t)y(t)就是上面的r(t)r(t)r(t)，TTT代表一个系统，TTT后面的中括号表示这个系统的外部输入f(x)f(x)f(x)和本身固有的输入x(0)x(0)x(0)。

注：线性是分开讨论的。所以一定要先分解，一部分只跟固有输入有关，一部分只跟外部输入有关，如果有交叉项比如x(0)f(t)x(0)f(t)x(0)f(t)，那么不是线性系统。

然后分别讨论这个系统对于外部输入和固有输入是不是线性的。

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