谁出去？谁不出去？重叠部分面积的探讨

在几何动点研究的题目中，重叠部分面积的确定极大考验了学生的图形想像能力，多数情况下，重叠部分的面积形状是发生改变的，于是，抓住整个图形变化过程中的临界点，明确临界点两边重叠部分图形的形状，便是整个解题过程中分类的依据。

题目

图1是边长分别为4√3和3的两个等边三角形纸片ABC和C'D'E'叠放在一起（C与C'重合）.

(1)操作：固定△ABC，将△C'D'E'绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD，BE，CE的延长线交AB于F（图2）；

探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；

(2)操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE记为△PQR（图3）；

探究：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于7√3/4？

(3)操作：图1中△C'D'E'固定，将△ABC移动，使顶点C落在C'E'的中点，边BC交D'E'于点M，边AC交D'C'于点N，设∠ACC'=α（30°<α<90°，图4）；

探究：在图4中，线段C'N·E'M的值是否随着α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C'N·E'M的值，如果有变化，请你说明理由.

解析：

（1）立足课本，很容易能看出来一对全等三角形，△ACD≌△BCE，如下图：

证明这一对全等三角形之后，得到结论BE=AD；

（2）当△PQR在线段CF上平移时，重叠部分的面积会发生变化，我们可以先从最初位置开始想像，设运动时间为t，则CQ=t，当点Q离开点C沿CF方向平移时，带动整个等边三角形平移，此时点P，Q在线段CF上，点R在△ABC外。而继续平移后，究竟是点P先跑出线段CF，还是点R先进入△ABC内？需要我们进行比较，①点P出线段的时候好确定，当t=3时，点P到达边AB，②点R进入△ABC时，不妨作PQ边上的高RS，此时RS=3√3/2，△CRS为含30°角的直角三角形，于是CS=9/2，于是两个临界点产生了，范围可分别确定为0<t≤3和3<t≤9/2，重叠部分面积均为四边形，但在计算上略有不同，如下图：

继续前行，点R会不会也出去呢？当然会，但是我们发现，△PQR的面积经计算是9√3/4，当点R出△ABC时，意味着它有一半已经出去了，剩下重叠部分面积可能是7√3/4吗？显然不可能，因此我们综合后，确定出t的范围0<t≤3，3<t≤9/2，如下图：

无论哪种情形，都用△PQR减去一个三角形，左图中，减掉的是△RMN，右图中减掉的是△PKF，它们均为含30°角的直角三角形，因此求得一条边，即可得到它们的面积。

如左图，△CQM可证明为等腰三角形，于是CQ=CM=t，于是RM=3-t，得到RN=(3-t)/2，MN=√3(3-t)/2，于是△RMN的面积为√3(3-t)²/8，重叠部分面积为9√3/4-√3(3-t)²/8，可列方程为9√3/4-√3(3-t)²/8=7√3/4，解得t=1或5，显然5不符合，于是t=1;

如右图，△PFK中，PF=t-3，于是KF=√3(t-3)，所以△PFK面积为√3(t-3)²/2，可列方程为9√3/4-√3(3-t)²/2=7√3/4，解得t=2或4，显然2不符合，于是t=4；

更进一步探讨，当点R进入△ABC前后，事实上点R所在直线是一条与CF平行的直线，进入前既然有可能面积等于7√3/4，那么进入后也有可能面积等于7√3/4。

（3）此问过于简单，典型的“一线三等角”模型，只需要证明△CE'M∽△C'NC即可，结果为定值9/4.

解题反思：

解决此类分类讨论重叠部分面积的问题，首先需要在头脑中明确整个运动过程，找到相应的临界点，划定变量取值范围，在每一个范围内，重叠部分的形状是有区别的，然后分别用这个变量来表示图形面积，从而列方程或写函数解析式。有条件的学生，可通过作图加推导来完成推导过程，并不十分需要精准工具作图，例如上述讨论谁先出去的时候，基本是数据说话，而非直观。

当然，在平时练习时，如果对此类形状的变化非常熟悉，也的确是有可能直观发现上述结论，但这需要大量练习和反思，熟能生巧。