python 计算曲线面积_微积分到底有多神？能完成多少不可思议，难以测量的计算？他简直强大的让人害怕！...

首先这边文章主要还是针对非数学专业学生的兴趣类文章。对文章中出现的一些公式和计算方式没有做严格的证明和推导，单纯讨论微积分的应用。同时微积分的应用范围之广，实在是难以一一列举，甚至连冰山一角都难以摸透，他简直强大的让人害怕！

如果还不会积分计算，请看这里：

定积分与不定分怎样计算？www.zhihu.com

我们讨论如此强大的积分运算可以做多少不可思议的事情！（以下例题取自《Thomas' calculus 13th》 即《托马斯微积分》）

一、最基本的计算：求面积

例题1：如图所示，求由抛物线

和直线

所围区域的面积。

你看几何上如此复杂的面积，使用积分计算如此简单！在物理上，应用该方法可以根据速度时间函数计算路程。实际上，使用该方法，你可以验证例如圆形、矩形、三角形、梯形等等各种平面图形的面积公式。

二、稍稍微扩展：求体积

例题2：一个锲形体是从一个半径为3的圆柱上用两个平面切下的，其中第一个平面垂直该圆柱的轴，第二个平面过圆柱的中心，并与第一个平面夹成45度角，求该锲形体的体积。

我们对面积进行积分可以得到体积。图中所示的矩形面积为：

令

；则

所以：

(立方单位)

你看，体积的计算，似乎也是这么简单。

实际上使用类似方法，你甚至可以去求任意维度的物体体积或表面积。

可以参考这篇文章：

黄雨：点、圆、球和n维球体积之间有怎样的爱恨情仇？让我们一起扒开他们之间鲜为人知，惊为天人的秘密关系！zhuanlan.zhihu.com

(这里涉及部分重积分知识，当然重积分也是其强大能力的体现)

并且更重要的是，积分的使用是非常的自由的，只要你对微分思想有深刻的理解，一道题会有多种不同的做法。

三、求曲线的长度

例题3：如图求曲线

在

之间的长度。

你可能一时无法想象，连曲线长度也是可以使用积分计算的。这也是利用微分的思想。

当间距足够小，曲线PQ和直线PQ近似相等

如上图所示，当曲线难以测量时，我们可以用直线代替曲线。当

足够小的时候，直线和曲线是近似相等的。根据勾股定理，这段长度为：

；

那么线段的长度为：

这个积分使用数值积分计算机计算出结果约为：7.64 。

恩，这个例子就想说明，积分有个小bug，那就是并不是所有的积分都是那么容易算出来的，有些积分其反导数是难以求出的，所以求积分是一件十分值得研究的事情。

四、求做一件事耗费的功

例题4：如下图的圆锥形槽注入比重

的橄榄油，油面距离顶2英尺，把全部的橄榄油抽到槽的边缘需要做功多少？

首先我们建立了如图的坐标系，将所有橄榄油抽到高度为10的槽边。

微分每一层高度极小的油的体积为：

每一层所需要的力为：

每一层做的功为：

那么把所有油都抽到槽边就需要做功：

这时候如果你告诉我，你使用的抽油机的功率，我可以很容易计算出抽出全部油大概需要多长的时间。

五、计算流体力

例题5：一个等腰直角三角形平板底边6英尺，高3英尺，它被垂直淹没在游泳池中，其底边在水面以下2英尺。求水对于平板一侧的作用力。（水的比重：

）

计算压强：

窄条面积：

力的变化：

根据这个例题，我们可以类比计算出，建设一个水电站时所需要注意的一些数据。水力发电站，发电机涡轮通常放在水坝的下部，我们需要为此建造一个进水闸门，通过计算会发现，该闸门所承受的压力是巨大的！需要为承受此压力而设计特殊的高压闸门板。

六、计算物体质心的位置

例题6：求常密度为

的一个薄板的质心，它是由抛物线

和直线

围成的形状，求其质心的位置。

这是一块常密度板，并且关于

轴对称，那么质心一定在

轴上，即其质心坐标

；我们重点求出质心的

坐标。

1、求面积：

2、求质量：

3、求关于

轴的矩：

4、求质心的

坐标：

所以该薄板的质心坐标为：

。

应用该思想加重积分，可以对三维物体，甚至更高维的物体求质心。

想了想这积分应用太广，也写不完，书上也就这么多例子。先发布，后面有空慢慢补（一说这话就知道一定没空）。。。