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一、判断系统是否 " 非时变 "
- 1、案例二
- - ① 时不变系统概念
  - ② 先变换后移位
  - ③ 先移位后变换
  - ④ 结论

一、判断系统是否 " 非时变 "

1、案例二

给定输入序列 x(n)={0,1,2,3,4,5,0}x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 0 \}x(n)={0,1,2,3,4,5,0} , nnn 取值 −1-1−1 ~ 555

判断其输出序列 y(n)=x(2n)y(n) = x(2n)y(n)=x(2n) 的 " 变换 " 操作是否是 " 时不变 " 的 ;

y(n)y(n)y(n) 只有在 n=0,1,2n = 0 , 1 , 2n=0,1,2 取值时 , 才有值 ,

如果 n=−1n = -1n=−1 , 2n=−22n = -22n=−2 , x(−2)x(-2)x(−2) 没有值 ;
如果 n=3n = 3n=3 , 2n=62n = 62n=6 , x(6)x(6)x(6) 没有值 ;
如果 n=4n = 4n=4 , 2n=82n = 82n=8 , x(8)x(8)x(8) 没有值 ;
如果 n=5n = 5n=5 , 2n=102n = 102n=10 , x(10)x(10)x(10) 没有值 ;

因此 , 正常变换后 , y(n)y(n)y(n) 的取值是 n=0,1,2n = 0 , 1 , 2n=0,1,2 时的取值 ,

当 n=0n = 0n=0 时 , y(n)=x(2n)=x(0)=1y(n) = x(2n) = x(0) = 1y(n)=x(2n)=x(0)=1 ;
当 n=1n = 1n=1 时 , y(n)=x(2n)=x(2)=3y(n) = x(2n) = x(2) = 3y(n)=x(2n)=x(2)=3 ;
当 n=2n = 2n=2 时 , y(n)=x(2n)=x(4)=5y(n) = x(2n) = x(4) = 5y(n)=x(2n)=x(4)=5 ;

x(n)x(n)x(n) 正常变换后的取值为 :

y(n)={1,3,5}y(n) = \{ 1, 3, 5 \}y(n)={1,3,5}

① 时不变系统概念

时不变系统 ( time-invariant ) : 系统特性 , 不随着时间的变化而变化 ;

y(n−m)=T[x(n−m)]y(n - m) = T[x(n-m)]y(n−m)=T[x(n−m)]

输入延迟后 , 输出也随之延迟 ;

与 " 时不变 " 系统对应的是 " 时变 " 系统 ;

② 先变换后移位

将 " 输出序列 " 进行移位 , 先 " 变换 " 后 " 移位 " ;

先将 " 输入序列 " 进行 " 变换 " 操作 , 得到 " 输出序列 " , 然后对输出序列进行 " 移位 " 操作 ;

其中 " 变换 " 指的是 , 离散时间系统 , 将 " 输入序列 " 变换为 " 输出序列 " , 输入序列到输出序列之间的操作 , 是 " 变换 " ;

变换操作 : 先将输入序列 x(n)x(n)x(n) 进行变换操作 , 得到输出序列 x(2n)x(2n)x(2n) ,

移位操作 : 然后对 x(2n)x(2n)x(2n) 输出序列进行移位 n−n0n - n_0n−n0 得到 x(2(n−n0))x(2(n-n_0))x(2(n−n0)) ,

完整运算过程如下 :

y(n−n0)=x(2(n−n0))y(n - n_0) = x(2(n-n_0))y(n−n0)=x(2(n−n0))

先变换 , 变换后输出为 :
y(n)={1,3,5}y(n) = \{ 1, 3, 5 \}y(n)={1,3,5}

后移位的取值为 : 向右移一位 ;

y(n−1)={0,1,3,5}y(n-1) = \{ 0, 1, 3, 5 \}y(n−1)={0,1,3,5}

③ 先移位后变换

将 " 输入序列 " 进行移位 , 先进行移位 , 将 " 输入序列 x(n)x(n)x(n) " 先进行 " 移位 " 操作 , 得到新的 " 输入序列 " 为 x(n−n0)x(n-n_0)x(n−n0) , 然后对新的输入序列进行 " 变换 " 操作 , 得到 " 输出序列 " ;

变换过程是 T[x(n−n0)]=x(2n−n0)T[x(n - n_0)] = x(2n - n_0)T[x(n−n0)]=x(2n−n0) , 变换时 , 只是将 nnn 值变为 2n2n2n , n0n_0n0 值不动 ;

x(n−n0)x(n-n_0)x(n−n0) 变换时 , 只将 nnn 乘以 222 , n0n_0n0 不变 , 变换结果如为 x(2n−n0)x(2n - n_0)x(2n−n0) ;

完整过程如下 :

T[x(n−n0)]=x(2n−n0)T[x(n - n_0)] = x(2n - n_0)T[x(n−n0)]=x(2n−n0)

先将 x(n)={0,1,2,3,4,5,0}x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 0 \}x(n)={0,1,2,3,4,5,0} , nnn 取值 −1-1−1 ~ 555 , 向右移位 , 移位后的序列 :
x(n)={0,1,2,3,4,5}x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 \}x(n)={0,1,2,3,4,5} nnn 取值 000 ~ 666 , 移位后的序列图式如下 :

向右移位 1 后 , nnn 取值由原来的 −1-1−1 ~ 555 变为了 000 ~ 666 ,

y(n)y(n)y(n) 只有在 n=0,1,2,3n = 0 , 1 , 2 , 3n=0,1,2,3 取值时 , 才有值 ,

如果 n=4n = 4n=4 , 2n=82n = 82n=8 , x(8)x(8)x(8) 没有值 ;
如果 n=5n = 5n=5 , 2n=102n = 102n=10 , x(10)x(10)x(10) 没有值 ;

因此 , 正常变换后 , y(n)y(n)y(n) 的取值是 n=0,1,2n = 0 , 1 , 2n=0,1,2 时的取值 ,

当 n=0n = 0n=0 时 , y(n)=x(2n)=x(0)=0y(n) = x(2n) = x(0) = 0y(n)=x(2n)=x(0)=0 ;
当 n=1n = 1n=1 时 , y(n)=x(2n)=x(2)=2y(n) = x(2n) = x(2) = 2y(n)=x(2n)=x(2)=2 ;
当 n=2n = 2n=2 时 , y(n)=x(2n)=x(4)=4y(n) = x(2n) = x(4) = 4y(n)=x(2n)=x(4)=4 ;
当 n=3n = 3n=3 时 , y(n)=x(2n)=x(6)=0y(n) = x(2n) = x(6) = 0y(n)=x(2n)=x(6)=0 ;

x(n−1)x(n - 1)x(n−1) 正常变换后的取值为 :

T(x(n−1))={0,2,4,0}T(x(n -1 )) = \{ 0, 2, 4, 0 \}T(x(n−1))={0,2,4,0}

④ 结论

先 " 变换 " 后 " 移位 " , 结果是 x(2(n−n0))x(2(n-n_0))x(2(n−n0)) , 输出序列为 y(n−1)={0,1,3,5}y(n-1) = \{ 0, 1, 3, 5 \}y(n−1)={0,1,3,5}

先 " 移位 " 后 " 变换 " , 结果是 x(2n−n0)x(2n - n_0)x(2n−n0) , 输出序列为 T(x(n−1))={0,2,4,0}T(x(n -1 )) = \{ 0, 2, 4, 0 \}T(x(n−1))={0,2,4,0}

该系统是 " 时变系统 " ;

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