D - Strange Definition

Problem D Strange Definition

两个整数 xxx 和 yyy 是 相邻的 当 lcm(x,y)gcd(x,y)\cfrac{lcm(x,y)}{gcd(x,y)}gcd(x,y)lcm(x,y)是完全平方数。

你有一个长度为 nnn 的序列 aaa。每一秒，所有的 aia_iai都会变成序列中所有和它 相邻的 的数的乘积。令 did_idi为数列中与 aia_iai 相邻的 的数的个数

有 qqq 次询问，每次询问给出一个 www，求在 www 秒时的 max⁡{di}\max\{d_i\}max{di}

Solution

首先，我们来学习一个单词：perfectsquare\tt perfect\ squareperfect square：完全平方数…我还以为是完美的正方形，我说哪来的正方形…给我人看傻了…

以及 adjacent\tt adjacentadjacent： adj. 相邻的，毗邻的

然后开始照例分析题目中的性质。

首先是完全平方数，就是指整数 xxx 存在一个正整数 yyy ，使得 x=y2x=y^2x=y2，整数 xxx 就是一个完全平方数。

我们定义两个数是相邻的，是指两个整数 xxx 和 yyy ，满足： lcm(x,y)gcd(x,y)\cfrac{lcm(x,y)}{gcd(x,y)}gcd(x,y)lcm(x,y)是完全平方数。

我们知道 gcd⁡(x,y)×lcm(x,y)=x×y\gcd(x,y) \times lcm(x,y)=x\times ygcd(x,y)×lcm(x,y)=x×y。

lcm(x,y)gcd(x,y)=x×ygcd⁡(x,y)2\cfrac{lcm(x,y)}{gcd(x,y)}=\cfrac{x\times y}{\gcd(x,y)^2}gcd(x,y)lcm(x,y)=gcd(x,y)2x×y

这个东西是完全平方数，也就意味着它可以被开根。

即 x×ygcd⁡(x,y)2=x×ygcd⁡(x,y)\sqrt{\cfrac{x\times y}{\gcd(x,y)^2}}=\cfrac{\sqrt{x\times y}}{\gcd(x,y)}gcd(x,y)2x×y=gcd(x,y)x×y

也就是说对于任意两个整数 xxx 和 yyy 而言，若 x×yx\times yx×y 是完全平方数，则这两个数是相邻的。

由 数论必备 唯一分解定理得：

x=p1α1×p2α2×⋯×pkαkx=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2} \times \cdots\times p_{k}^{\alpha_{k}}x=p1α1×p2α2×⋯×pkαk

y=p1β1×p2β2×⋯×pkβky=p_1^{\beta_1}\times p_2^{\beta_2} \times \cdots\times p_{k}^{\beta_{k}}y=p1β1×p2β2×⋯×pkβk

x×y=p1α1+β1×p2α2+β2×⋯×pkαk+βkx\times y=p_1^{\alpha_1+\beta_1}\times p_2^{\alpha_2+\beta_2} \times \cdots\times p_{k}^{\alpha_k+\beta_{k}}x×y=p1α1+β1×p2α2+β2×⋯×pkαk+βk

显然，若两个数的乘积是完全平方数，则所有质因子的次幂 α+β\alpha +\betaα+β 均为偶数。

也就意味着所有质因子对应的 α\alphaα 和 β\betaβ 是同奇偶性的，即 α\alphaα 是奇数， β\betaβ 也是奇数，或者 α\alphaα 是偶数， β\betaβ 也是偶数，或者一个是偶数，一个是 000 ，这样二者相加才是偶数。

因为我们发现还有 000 的存在，所以我们需要考虑如何把偶次幂与偶次幂，和 000 次幂与偶次幂表示成一个形式。很容易就想到了我们判断奇偶性的时候使用的 % 2，这样偶次幂或者本来就是 000 的最后都会变成 000 ，而奇次幂最后会变成 111 所以我们将每个数都质因数分解的同时，对于每一个质因子的次幂都 % 2 ，也就是质因数分解的时候指数一直 /= 2 也就是 /=i2/= i^2/=i2 。最后将 x=p1α1×p2α2×⋯×pkαkx=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2} \times \cdots\times p_{k}^{\alpha_{k}}x=p1α1×p2α2×⋯×pkαk 变为 x=p11×p20×⋯×pk0x=p_1^{1}\times p_2^{0} \times \cdots\times p_{k}^{0}x=p11×p20×⋯×pk0 的形式。

这样，最后只要是 000 就都是一组。

但是对于奇数而言，不一定。因为虽然都是是 111 ，但是奇次幂的话，必须能够配对，才是一组，配对的意思就是变成 x=p11×p20×⋯×pk0x=p_1^{1}\times p_2^{0} \times \cdots\times p_{k}^{0}x=p11×p20×⋯×pk0 的形式以后，两个数剩余的质因子必须完全相同，也就是拥有相同的 111 次幂的质因子，也就是转换为上面的那个形式以后，两个数的值完全相同。

我们可以使用 map 来储存同一组（相互都相邻）的元素个数。

分析完相邻的性质以后，我们知道如何判断是否相邻，我们可以直接对于每个输入的数，判断一下，存入 map 中。

然后再来考虑第二个问题，题目中的操作，合并。

我们从第 000 秒开始，每一秒，每一个数都会变成所有与自己相邻（包括自己）的数的乘积，然后有 qqq 次询问，每次会问第 ω\omegaω 秒，数列中，所有相邻组（全部两两相邻）中元素个数最多的个数。ω≤1018\omega \le10^{18}ω≤1018。所以我们瞬间就可以看出点什么东西，就是这个操作修改以后，答案肯定存在一个循环节或者之后的某一时刻就不会再发生变化了。因为询问的数据太大，啥数据结构都不可能存得下，也不可能快速地求解。

然后我们来分析这个操作，同一组的所有的数都会同时合并，我们根据上面的分析，知道一共有四种组别

个数为偶数的 000 组（偶次幂）
个数为奇数的 000 组（偶次幂）
个数为偶数的 111 组（奇次幂）
个数为奇数的 111 组（奇次幂）

我们来分析这四种组别合并后会发生什么。

第一种，第二种

我们的合并操作是全部数的乘积，对于质因数分解后的 xxx ，全部数的乘积实际上就是所有数的指数的和，而第一种，第二种，不管组内个数是奇数个还是偶数个，因为都是偶数，所以和仍然是偶数，也意味着还是第一种或者第二种，而第一种和第二种实际上是同一种，因为都是相邻的，这里分开只是两种不同的情况。所以第一第二种任意秒以后，仍然还是第一第二种。

第三种

偶数个全部对应的奇次幂，和为偶数，因为每个次幂都是奇数，也就是 111 ，奇数加奇数为偶数，在第一秒第一次合并以后归为第一种或者第二种。

第四种

奇次幂，还是奇数个，那么相乘，也就是指数相加，永远都还是第四种。

分析完我们发现，询问一共分 ω=0\omega=0ω=0 和 ω>0\omega>0ω>0 两种情况， ω=0\omega=0ω=0 的时候，数列中的数一共分为三种

第一种就是我们上面说的第一第二种，我们累计所有指数是偶次幂的元素的个数。
第二种为我们上面说的第三种，即虽然是 111 组，但是个数是偶数，也就是我们 map 存的第二维是偶数。
第三种就是我们上面说的第四种，奇数个的奇数次幂，我们用 map 来hash一下，对于这一种的每一个值，都分为每一组，取最值。

ω=0\omega=0ω=0 时答案就是上述三种的元素个数的最大值。

ω>0\omega>0ω>0 时，第二种全部归为第一种，所以我们只需要用第三种里最大的那一组的个数，与第一种元素个数加上第二种的元素个数，取最大值即可。

detail

虽然上面说了那么大一堆，这些实际上只是我当时做题的时候的心理活动，在演草纸上画思维导图来分类讨论，总共花了不到 101010 分钟，因为写题解我习惯讲的比较详细，我希望可以把如何思考问题带给大家，所以内容有点多了，请大家见谅 …

Code

实现就非常简单了，照着上面的思路模拟一遍就行了

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <unordered_map>using namespace std;
const int N = 3e5 + 7, mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
unordered_map<int, int> Hash;
void get_factor(int x)
{for(int i = 2; ; ++ i) {int even = i * i;while(x % even == 0 && x >= even) x /= even;if(x < even) break;}Hash[x] ++ ;我们实际上只需要知道它是奇还是偶//x就是把所有的质因子的次方全部压成0或者1，0就是偶次幂，x=1(被除尽了)，1次就是奇次幂。x=若干一次质因子的乘积//偶次幂无所谓，奇次幂必须所含奇次幂的质因子全部完全相同才是一组（能凑成偶数，也就是完全平方数）
}
int n, m, t, q;
int main()
{scanf("%d", &t);while(t -- ) {Hash.clear();scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; ++ i) {int a;scanf("%d", &a);get_factor(a);}int ans1 = 0, ans2 = 0;for(auto it = Hash.begin(); it != Hash.end(); ++ it) {//0秒的情况不变ans1 = max(ans1, it -> second);//second是个数，0秒没有变化的时候，最大数量的那组就是最大的那组//1秒的情况合并if(it -> second % 2 == 0 || it -> first == 1)//(组内有偶数个 || 这个组是偶数次幂组)ans2 += it->second;//1秒钟后就会全部归为偶组}ans2 = max(ans2, ans1);//取奇数组和偶数组中的最大值scanf("%d", &q);for(int i = 1; i <= q; ++ i) {ll w;scanf("%lld", &w);if(w == 0)printf("%d\n", ans1);else printf("%d\n", ans2);}}return 0;
}

CF1471 D - Strange Definition（思维，分类讨论，lcm，gcd的性质，数论）相关推荐

分类讨论 ---- 2020 icpc 上海 Walker (二分 or 思维分类讨论)
题目链接题目大意: 就是两个人在坐标轴上面,有起始的坐标p1,p2p1,p2p1,p2,和速度v1,v2v1,v2v1,v2,问你访问完这长度为nnn的数轴最短时间是多少? 解题思路: 大佬有直接二 ...
codeforces1471 D. Strange Definition
D. Strange Definition 大佬题解由lcm(x,y)=xygcd(x,y)lcm(x,y)=\frac{xy}{gcd(x,y)}lcm(x,y)=gcd(x,y)xy可知,如果 ...
P7108 移花接木(分类讨论思维)
P7108 移花接木(分类讨论&思维) 题意给定一棵无限高度的满 a a a叉树. 给定两个操作. 1.删除一个结点及其子树. 2.将一个结点及其子树移到另一个结点. 求将满 a a a叉树 ...
Unfair contest 模拟-分类讨论
题意 : 两人比赛,n个裁判,给分范围[1,h][1, h][1,h],去掉s个最高分和t个最低分,给出n - 1个裁判的给分,第n个裁判想让第1个人赢,并且最小化给1的分数a[n]a[n]a[n] ...
2020ICPC(上海) - Walker(分类讨论+二分)
题目链接:点击查看题目大意:在长度为 n 的数轴上给出两个人的初始位置和速度,问使得每个位置至少被一个人走过的时间是多少题目分析:分类讨论题目,分四种情况讨论即可,设 p1 < p2: p1 ...
【UOJ#33】【UR #2】树上GCD（长链剖分/根号分类讨论）
[UOJ#33][UR #2]树上GCD 求解树上两个点到lca的距离的最大公约数是k的对数首先我们很容易就想到莫比乌斯反演,那么利用倍数形式,我们只需要求解是i的倍数的对数. 考虑枚举lca,这个 ...
uoj#246. 【UER #7】套路（dp+分块？分类讨论？）
题目链接分析: 目前为止我只能理解dp部分我就喜欢这种单纯不做作的题目一看名字就明白了这道题的本质中二的题目描述很显然,我们的关键就是求出最小相似度朴素算法n^4 如果我们现在有一个权值数 ...
Vasya and Multisets CodeForces - 1051C 模拟|分类讨论
题意:把数组分成两个集合每个集合中元素数量为1的个数相同(此个数可以是0) 分析: 这类问题就是要各种可能情况考虑到然后分类讨论完整地正确分类就AC 否则gg 如果数量为 ...
P3842 [TJOI2007]线段(线性dp,分类讨论)
P3842 [TJOI2007]线段题意 [TJOI2007]线段题目描述在一个 n×nn \times nn×n 的平面上,在每一行中有一条线段,第 iii 行的线段的左端点是(i,Li)(i ...

CF1471 D - Strange Definition（思维，分类讨论，lcm，gcd的性质，数论）

D - Strange Definition

CF1471 D - Strange Definition（思维，分类讨论，lcm，gcd的性质，数论）相关推荐

最新文章

热门文章