简 介： 通常情况下，我们对于函数，信号的定义可以通过他们的波形来表征他们，但在一些特殊的情况，比如频率趋向于无穷大的周期信号，冲激信号等等，它们则需要通过广义函数的方式来刻画她们的性质。

关键词： 广义函数，周期信号，频率

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周期信号
目 录
Contents
分配函数
微积分期
中考试题
原题内容
信号与系统
总 结

§01 周期信号

  描述一个随着时间变化信号可以使用函数 f(t)f\left( t \right)f(t) 表征它的波形。通常情况下，我们可以通过信号的波形来分析观察其变化趋势、内部蕴含的信息。比如，下面是在 测试录制的电话拨码声音信号在发送过程中的问题 中被分析的电话双音频拨号声音的波形。

▲ 图1.1 电话双音频拨码信号

  但是，还有一些特殊的信号，就可能无法让我们准确刻画它的波形，比如一个周期信号，它的频率如果趋向于无穷大，那么这个信号究竟什么呢？

  一个信号 f(t)f\left( t \right)f(t) ，如果是周期信号，则可以找到一个时间周期 TTT ，信号满足： f(t+T)=f(t)f\left( {t + T} \right) = f\left( t \right)f(t+T)=f(t) 。

  这中间存在两个特殊情况：

  • 直流信号，也就是 f(t)=Cf\left( t \right) = Cf(t)=C 是一个常量；
  • 周期 T→0T \to 0T→0 ，或者 f→+∞f \to + \inftyf→+∞ ；

  下图中显示了一个随着频率增大波形变化的情况。当然，动图中正弦信号包络线随着频率增加会发生一些起伏变化，这不是真实连续时间震荡信号出现的情况。而是由于计算机使用信号的采样绘制波形所出现的特殊的欠采样的结果。

▲ 图 频率在不断增加的正弦波形

  这的确是一个问题，当一个震荡信号，比如 cos⁡(2πft)\cos \left( {2\pi ft} \right)cos(2πft) ,它的频率 fff 趋向于 ∞\infty∞ 之后，在任一个具体时间 ttt ，它的取值本身就是一个问题，那么该怎么办呢？

1.1 分配函数

  前面讨论的如果无法从信号（函数）的每一点的取值来定义这个函数，则可以使用 广义函数 ，或者分配函数的概念来定义它。

  先从一个具体的例子来说明这个事情。比如对于一个固定的电压信号，很简单 U(t)U\left( t \right)U(t) ，我们对于他的认知都是通过专用电压测量设备而得到的，比如电压表。假若电压表具有很好的特性，比如线性时不变，它的单位冲激响应为 h(t)h\left( t \right)h(t) 。那么每次我们通过该电压表所得到的电压信号实际上是真实的电压信号 U(t)U\left( t \right)U(t) 与 h(t)h\left( t \right)h(t) 的卷积。

▲ 图1.1.1 使用电压表测量电压信号

  如果它们的卷积结果都一样，我们就定义所看到的电压信号是一样的。

  这个方式来定义一个信号（函数）也是一样的。这里的广义函数 g(t)g\left( t \right)g(t) 定义为通过如下的内积，给任意一个检测函数（也就是相当于测量电压的万用表）一个具体的数值（万用表的读数）。

  比如：对于简单的常量 g(t)=C,t∈(a,b)g\left( t \right) = C,\,\,t \in \left( {a,b} \right)g(t)=C,t∈(a,b) ，它可以赋予任何检测函数在 (a,b)\left( {a,b} \right)(a,b) 之间的积分值：
⟨g(t),ϕ(t)⟩=∫abg(t)⋅ϕ(t)dt\left\langle {g\left( t \right),\phi \left( t \right)} \right\rangle = \int_a^b {g\left( t \right) \cdot \phi \left( t \right)dt}⟨g(t),ϕ(t)⟩=∫ab​g(t)⋅ϕ(t)dt

  也就是说，任何其他函数，如果也具有这样的特性，我们可以说它为一个常量。

  如果信号 g(t)g\left( t \right)g(t) 与任何检测函数的内积都等于该函数在0点的取值，那么这个函数就是我们熟悉的 δ(t)\delta \left( t \right)δ(t) ，冲激函数。

⟨δ(t),ϕ(t)⟩=ϕ(0)\left\langle {\delta \left( t \right),\phi \left( t \right)} \right\rangle = \phi \left( 0 \right)⟨δ(t),ϕ(t)⟩=ϕ(0)

1.2 微积分期中考试题

  在 清华大学本科生微积分2021年期末考试试卷 中具有一个附加题。它讨论了一个周期信号，在其频率趋向于无穷大的时候，与任意函数积分的问题。

1.2.1 原题内容

  设 f∈C[0,1]f \in C\left[ {0,1} \right]f∈C[0,1] ， g(t)g\left( t \right)g(t) 为非负周期函数，周期为1， 且 g(t)∈R[0,1]g\left( t \right) \in R\left[ {0,1} \right]g(t)∈R[0,1] 。求证：lim⁡n→+∞∫01f(x)g(nx)dx=(∫01f(x)dx)⋅(∫01g(x)dx)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int_0^1 {f\left( x \right)g\left( {nx} \right)dx} = \left( {\int_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right) \cdot \left( {\int_0^1 {g\left( x \right)dx} } \right)n→+∞lim​∫01​f(x)g(nx)dx=(∫01​f(x)dx)⋅(∫01​g(x)dx)

（1）题目分析

  上面中讨论的 g(t)g\left( t \right)g(t) 是一个周期信号， g(nt)g\left( {nt} \right)g(nt) 对应着它的频率为原来周期信号频率的 nnn 倍。证明中，当 n→+∞n \to + \inftyn→+∞ 的过程中，这个周期信号的频率趋向于无穷大，那么它与任意信号 f(t)f\left( t \right)f(t) 的内积，相乘后的积分，等于原来信号 f(t)f\left( t \right)f(t) 的积分值，乘以一个常数，这个常数也就是信号本身 g(t)g\left( t \right)g(t) 在 [0,1]\left[ {0,1} \right][0,1] 的面积。

  这不就是告诉我们这个 lim⁡n→+∞g(nx)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } g\left( {nx} \right)n→+∞lim​g(nx) 对待任意一个测量函数的内积，都是一个常量，因此可以看到这个 lim⁡n→+∞g(nx)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } g\left( {nx} \right)n→+∞lim​g(nx) 实际上已经与一个常量没有什么两样了。

  具体的证明可以参见试卷中给出的参考证明。

1.3 信号与系统

  这个题目实际上对于信号与系统中关于广义信号的定义非常有用处。

  虽然这个期终考试的题目限制了 f(t),g(t)f\left( t \right),g\left( t \right)f(t),g(t) 的一些条件，比如非负，周期为1等等，但这个结论却是可以推广到任意区间和周期。只是为了让证明比较方便，题目中设定的参数都是特定的数值。但对于任意周期信号，也不一定要求是非负，只要他的频率趋向于无穷大，最终它的性质与普通的常量就相同的。

  根据这个结论，可以有以下推理：

lim⁡ω→+∞sin⁡(ωt)=0,lim⁡ω→+∞cos⁡(ωt)=0\mathop {\lim }\limits_{\omega \to + \infty } \sin \left( {\omega t} \right) = 0,\mathop {\lim }\limits_{\omega \to + \infty } \cos \left( {\omega t} \right) = 0ω→+∞lim​sin(ωt)=0,ω→+∞lim​cos(ωt)=0

※ 总  结 ※

  通常情况下，我们对于函数，信号的定义可以通过他们的波形来表征他们，但在一些特殊的情况，比如频率趋向于无穷大的周期信号，冲激信号等等，它们则需要通过广义函数的方式来刻画她们的性质。

■ 相关文献链接:

  • 测试录制的电话拨码声音信号在发送过程中的问题
  • 广义函数
  • 清华大学本科生微积分2021年期末考试试卷
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  • 图 频率在不断增加的正弦波形
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