前文的思路存在问题,文末部分进行了更正。

Preface

知道这个词一年多了，还记得当时的情景，当时没有涉及到CNN就过去了，后面才知道是一个有趣的事物。前不久打算估计一下网络的这一指标，发现并不那么轻松，就准备另找时间。昨晚的PR课突然发现没什么可以打发时间的了，搜肠一番，那就列些等式吧。

Step1

刚提笔那会发现没什么简洁明了的思路，还一度考虑用仿真的方法编程算了。后面想到了一种逆向计算的思路，觉得可行。

Proposal

这种思路是把关注点放在两端上:如果一段长为\(l_0\)的区域(现在只考虑一维情况)，通过网络后输出为的长度为\(l_T\)。那么当\(l_T=1\)时，就认为其感受野为\(1\)。（说实话，wikipedia上的定义什么的我还没看，我所理解的感受野是指：输入中某种最大空间范围，这个范围内的所有数据，都有可能在输出中存在相互作用。写完这把，我再去看看正式的定义，但目前这个定义对我现在的认知来说，还是有意义的）。
于是就可以这样考虑，每一个操作层都会使数据的长度发生变化，并且这个变化的属性只与这一层有关。于是我们可以寻找一个长度\(l_0\)使得在经过所有层后，其长度为\(1\)。

Method

长度的变化关系如下面这个图（装了asymptote的机器正在run，先忍忍，后面找时间改图）：

conv和pool操作都可处理为统一的符号。

Op Analysis

于是我们来考虑单个操作的属性。
首先pad操作不能扩展信息量，不能被考虑，剩下的是核尺寸\(k\)和步长\(s\)。
一段长为\(l_n\)的数据，首先被核截取两端，然后剩下的那部分再用步长处理，第一个关系式:
\[ \begin{equation}\label{eq:l_n+1} l_{n+1} = \lceil \frac{l_n-2\times\lfloor\frac{k_n}{2}\rfloor}{s_n}\rceil \end{equation} \]
此处，最外层上取整的原因是步长从去两端后的首个数据开始。
根据Proposal的思路，我们是从输出端向输入端计算的，现在需要根据\(l_{n+1}\)计算\(l_n\)，拆分成两个不等式计算：
\[ \begin{equation}\label{eq:joint_ineq} \frac{l_n-2\lfloor\frac{k_n}{2}\rfloor}{s_n}\leq l_{n+1} < \frac{l_n-2\lfloor\frac{k_n}{2}\rfloor}{s_n}+1 \end{equation} \]
得到关于\(l_n\)为中心的不等式:
\[ \begin{equation}\label{eq:joint_l_n} L_{n+1}-s_n<l_n\leq L_{n+1} \end{equation} \]
其中
\[ \begin{equation}\label{eq:L_n+1} L_{n+1}=s_nl_{n+1}+2\lfloor\frac{k_n}{2}\rfloor \end{equation} \]
\ref{eq:joint_l_n}得到的是一个范围，取值的话应该是最大整数，于是\(l_n\)的计算式应该是
\[ \begin{equation}\label{eq:l_n} l_n=\lceil s_nl_{n+1}+2\lfloor\frac{k_n}{2}\rfloor\rceil \end{equation} \]

Step2

以上是昨晚的结果，今早进行整理的时候发现存在些问题。
比如网络只有一个核尺寸为\(3\)，步长为\(2\)的conv层，记为A，那么根据\ref{eq:l_n}，其感受野\(R=2\times 1+2\times 1=4\)；而如果将步长改为\(1\),记为B，则\(R=1\times 1+2\times 1=3\)。很明显，两个网络的感受野都应为\(3\)。

Flaw

我们从A中的计算结果考虑问题是怎样出现的:
假定现在的输入长度为\(4\)(序列: \(I:=\{a,b,c,d\}\))，然后用该核进行处理。只能得到一个元素的集合:\(O:=\{conv(\{a,b,c\})\}\)。也就是说，实际的\(R\)只有\(3\)，\(d\)因为没有参与计算，不能算入\(R\)中，但在这种计算方式下（以输入数据长度衡量）却被考虑进去了。

Fixing

上述的情况只有在第一层的时候才会产生作用，因为经过第一层，各数据已经产生耦合了，后续的目标只是降维就好。所以只需要对最后的\(R\)计算，修正的方式就是将操作进行的次数作为标准:
\[ \begin{equation}\label{eq:R} R=(l_1-1)s_1+1+2\times\lfloor\frac{k_1}{2}\rfloor \end{equation} \]

Solution

最后的方案是，根据\ref{eq:l_n}，从\(l_T=1\)开始迭代至\(l_1\)，然后根据\ref{eq:R}计算最后结果。

Further Discussion

刚才在讨论中，发现一个可能牵涉到pad的环节。
问题发生在Step2中的Flaw中：如果存在了pad，\(O\)就有可能出现两个元素。——然而这仍不能改变\(R\)的计算。
另外pad实际发生在两端，实际进行计算(计算\(R\))的时候，可以认为是在中部区域计算的。这也支持pad无关假设。

Jun 27, 2017 更正

之前的讨论，存在着某些问题，给人感觉没有清晰统一的模型。这就导致，Fixing所述的补丁方法也存在问题，比如
\(k_1=3,s_1=1;k_2=3,s_2=2\),输入序列为\(I:=\{a,b,c,d,e,f\}\),那么第一层输出\(O_1:=\{conv1(\{a,b,c\},conv1(\{b,c,d\},conv1(\{c,d,e\},conv1(\{d,e,f\})\}=\{a_1,b_1,c_1,d_1\}\),第二层输出\(O_2:=\{conv2(\{a_1,b_1,c_1 \})\}\)。也就是说\(f\)被遗漏了，但按照fixing的方法，\(f\)仍被计算入\(R\)中。

Model

感觉到需要一个统一的模型进行描述，用这张图好了。

Hierarchy of Receptive Field

图中蓝色的箭头指示序列长度\(l\)的变化,\(e\)是在层间传递时损失的长度。红色的箭头指示下一层序列最多能吸收到的上一层数据长度。
这样看来，由两端的数据长度着手的思路是一个误解，实际的感受野应当是由红色箭头引导出的\(R\)。计算法则为\ref{eq:R},只是需要更换下符号:
\[ \begin{eqnarray} R_n& =& (R_{n+1}-1)s_{n+1}+1+2\times\lfloor\frac{k_{n+1}}{2}\rfloor\nonumber\\ & = & (R_{n+1}-1)s_{n+1}+k_{n+1} \end{eqnarray} \]
最后的计算是:
\[ \begin{equation}\label{eq:R_final} R=R_n \end{equation} \]

Appendix

式子简洁没必要放code了。