理解我接下来所说的东西，需要大家懂得简单的动态规划。

KMP大家都不陌生了，但是其中计算next数组总是搞不明白，我想有很多人和我一样。所以这里用动态规划的思路去描述一下这个问题。

模式串P=c[1]c[2]......c[n]

先设几个符号：

suffix(S): S的所有后缀的集合

prefix(S): S的所有前缀的集合

例如：suffix("abcd") = {"","d", "cd", "bcd"}

prefix("abcd") = {"","a", "ab", "abc"}

看到，在这两个集合都除去了"abcd"本身。

真对P定义next的意义：next[i]代表的意义是suffix(c[1]c[2]......c[i])与prefix(c[1]c[2]......c[i])两个集合中最长相同串的长度（不包括串c[1]c[2]......c[i]）。那么如何计算next呢？其实这个计算过程类似动态规划的转移过程，从初始状态，不断的根据转移方程计算，直至计算出所有的可达状态。

那么状态怎么定义？初始条件是什么？

设两个游标p1,p2, p1,p2构成的位置对为状态<p1,p2>，例如p1在i位置，p2在j位置，i<j，那么状态<i, j>就代表c[1]c[2]......c[i]=c[j-i+1]c[j-i+2]......c[j]，即串的前i个字符与后i个字符相同。之后我们根据<i,j>推出<i',j+1>。我们依次计算<i1, 1>，<i2,2>,......,<in,n>。设LMAX(<i, j>)=i，通过上面对next的定义，我们可知next[j]=MAX{LMAX(<i,j>)|0<=i<j}。

初始化的条件为 next[1] = LMAX(<0, 1>) = 0。假设我们当前所在的状态为<i, j>,那么如何推出<i',j+1>呢？这必须得看c[i+1]与c[j+1]的关系，如果c[i+1]=c[j+1]，那么我们到达<i+1,j+1>的状态；如果c[i+1]!=c[j+1]，那么我们得根据所有可能的<i', j>状态，判断c[i'+1]=c[j+1]是否成立，如果成立就到达<i'+1,j+1>状态。那么，我们如何找到这些合法的<i',j>状态呢？很庆幸，因为next数组中天然的保存了我们需要的信息。当我们到达<i,j>这个状态并且发现c[i+1]!=c[j+1]，那么下一个尝试的状态将是<next[i], j>，看看c[next[i]+1]=c[j+1]是否成立。而且我们发现，只要按照i,next[i],next[next[i]]......这样下去找到第一个能够符合转移条件的状态就OK了，如果没有一个能够使之转移的状态，就说明没有一个前缀和当前的某个后缀是相等的，那么直接跳转到<0, j+1>这个状态。

举个例子吧: S=abcababc为了方便理解，在S前加一个通配符$$abcababc          <0, 1>             next[1]=0
||$abcababc          <0, 2>             next[2]=0
| | $abcababc          <0, 3>             next[3]=0
|  |$abcababc          <1, 4>             next[4]=1|  | $abcababc          <2, 5>             next[5]=2|  |下一步s[3]!=s[6]，这将尝试状态<next[3],j>=<0,j>，使之转移到下面的状态$abcababc          <1, 6>             next[6]=1|    | $abcababc          <2, 7>             next[7]=2|    |$abcababc          <3, 8>             next[8]=3|    |

到此，有的同学又有疑问了，人家KMP定义的next[i]的意义和你的也不一样呀。对，确实不一样。

KMP中对next[i]的定义为：设文本串为T，模式串为P，p[i]!=T[j]时，应该用p[?]与T[j]进行比较。

对应于上例，得到的next数组值应为

KMP的next: -1 1 1 1 2 3 2 3
我们的next:  0 0 0 1 2 1 2 3

怎么通过我们的next获取到正确的next呢？非常简单，从后往前循环做next[i] = next[i-1]+1，之后next[1]=-1就哦了。