【计算理论】下推自动机 PDA ( 设计下推自动机 | 上下文无关语法 CFG 等价于下推自动机 PDA )

文章目录

I . 下推自动机设计
II . 上下文无关语法 ( CFG ) 等价于下推自动机 ( PDA )

I . 下推自动机设计

设计下推自动机 , 可以识别 {wwR:w∈{0,1}∗}\{ ww^R : w \in \{ 0, 1\} ^* \}{wwR:w∈{0,1}∗} 语言 ;

RRR 表示镜面反射 , 如果 www 是由 0,10 , 10,1 组成的字符串 011011011 , 那么 wRw^RwR 就是其镜面反射 100100100 字符串 , 然后将 www 和 wRw^RwR 串联在一起 , wwR=011100ww^R = 011100wwR=011100 ;

1 . 首先生成开始状态 ;

开始状态是接受状态 , 因为如果字符串是空字符串 , 空字符串的镜面反射还是空字符串 , 因此读取空字符串后的状态 , 是接受状态 , 开始状态其本身就是接受状态 ;

2 . 向栈底放入字符 SSS , 用于作为栈底的标识 , 生成 ε,ε→S\varepsilon , \varepsilon \to Sε,ε→S 指令 ;

ε,ε→S\varepsilon , \varepsilon \to Sε,ε→S 指令包含 222 部分 : 读取字符 , 和栈内操作 ;

读取字符 : 指的是读取的带子上的字符串 , ε,ε→S\varepsilon , \varepsilon \to Sε,ε→S 中前面的 ε\varepsilonε 指的是从带子上读取 ε\varepsilonε ;
栈内操作 : 使用某个字符替换栈顶字符 ; ε,ε→S\varepsilon , \varepsilon \to Sε,ε→S 中后面的 ε→S\varepsilon \to Sε→S 指的是使用 SSS 字符替换栈顶的空字符 ε\varepsilonε ;

3 . 镜面反射的前半个镜面 :

000 入栈 : 每读取一个 000 , 就将 000 放入栈中 , 生成指令 0,ε→00, \varepsilon \to 00,ε→0 ;

111 入栈 : 每读取一个 111 , 就将 111 放入栈中 , 生成指令 1,ε→11, \varepsilon \to 11,ε→1 ;

4 . 跳转到新的状态 , 在新的状态执行后半个镜面的操作 :

无条件跳转就是读取 ε\varepsilonε , 并且栈中元素保持不变 , 即使用 ε\varepsilonε 替换栈顶的 ε\varepsilonε ;

生成的指令为

ε,ε→ε\varepsilon , \varepsilon \to \varepsilonε,ε→ε

当前的下推自动机 :

5 . 镜面反射的后半个镜面 :

000 出栈 : 每读取一个 000 , 从栈里拿走一个 000 , 生成指令 0,0→ε0, 0 \to \varepsilon0,0→ε ;

111 出栈 : 每读取一个 111 , 从栈里拿走一个 000 , 生成指令 1,1→ε1, 1 \to \varepsilon1,1→ε ;

6 . 栈清空 , 跳转到最后的接受状态 : 上述出栈操作执行若干次后, 总能将栈内的字符取出完毕 , 只剩下一个 SSS 字符 , 该字符是栈底的标识 ; 此时将 SSS 字符从栈内取出即可 ;

生成如下指令 :

ε,S→ε\varepsilon , S \to \varepsilonε,S→ε

指令含义是读取 ε\varepsilonε 字符 , 使用 ε\varepsilonε 字符替换栈中的 SSS 字符 ;

最后跳转到的状态是接受状态 ;

当前下推自动机为 :

II . 上下文无关语法 ( CFG ) 等价于下推自动机 ( PDA )

假设某语言由上下文无关语法 ( CFG ) 生成 , 找到一个下推自动机 ( PDA ) 识别该语言 ;

构造下推自动机流程 ( PDA ) :

构造下推自动机 , 包含 333 个状态 , 开始状态 qstartq_{start}qstart , Loop 循环状态 qloopq_{loop}qloop , 可接受状态 qacceptq_{accept}qaccept ;

1 . qstartq_{start}qstart 开始状态 :

读取 ε\varepsilonε 字符 , 使用 TSTSTS 替换栈顶的 ε\varepsilonε , 对应的指令为

ε,ε→TS\varepsilon , \varepsilon \to TSε,ε→TS

其中的 SSS 是栈顶的标识 , TTT 是栈内的实际字符 ;

2 . qloopq_{loop}qloop 循环阶段 , 根据上下文无关语法 ( CFG ) 做替换 ;

① 当栈顶是变元时 , 作变换 , 读取 ε\varepsilonε , 即什么都不读取 , 将栈顶的变元替换成 www , 生成的下推自动机指令为 " ε,A→w\varepsilon , A \to wε,A→w " , 对应着的上下文无关语法规则为 A→wA \to wA→w ;

② 当栈顶是终端字符 ( 常元 ) , 让带子上的读头读取一个终端字符 , 对应的栈中 , 将栈顶的终端字符删除 , 相当于使用 ε\varepsilonε 替换终端字符 , 生成指令 " a,a→εa , a \to \varepsilona,a→ε " ;

一直读取终端字符 , 并将栈顶的终端字符删除 , 一直循环该操作 , 直到栈顶是一个变元未为止 ;

3 . 跳转到 qacceptq_{accept}qaccept 状态 : 当栈内的字符都出栈后 , 只剩下一个 SSS 字符作为栈底标识 , 此时 SSS 出栈 , 生成对应的下推自动机指令 " ε,S→ε\varepsilon , S \to \varepsilonε,S→ε " , 即使用空字符 ε\varepsilonε 替换栈内的 SSS 字符 ;

之后跳转到最后一个状态 , qacceptq_{accept}qaccept 可接受状态 ;