【计算理论】上下文无关语法 ( 代数表达式 | 代数表达式示例 | 确定性有限自动机 DFA 转为上下文无关语法 )

文章目录

I . 代数表达式语法
II . 代数表达式语法示例
III . 设计上下文无关语法
IV . 确定性有限自动机 DFA 转为上下文无关语法

I . 代数表达式语法

1 . 代数表达式语法 : G4=(V,A,R,Expression)G4 = ( V , A , R , Expression )G4=(V,A,R,Expression) 是代数表达式语法 ;

① 终端字符集 : A={a,+,×,()}A = \{ a , + , \times , () \}A={a,+,×,()} ;

② 变量集 : V={Expression,Term,Factor}V = \{ Expression , Term , Factor \}V={Expression,Term,Factor} ;

ExpressionExpressionExpression 是表达式 ;
TermTermTerm 是项 ;
FactorFactorFactor 是因子 ;

2 . ExpressionExpressionExpression 表达式规则 :

Expression→Expression+Term∣TermExpression \to Expression + Term \quad | \quad TermExpression→Expression+Term∣Term

ExpressionExpressionExpression ( 表达式 ) 可以通过 Expression+Term∣TermExpression + Term \quad | \quad TermExpression+Term∣Term 代替 ;

3 . TermTermTerm 项规则 :

Term→Term×Factor∣FactorTerm \to Term \times Factor \quad | \quad FactorTerm→Term×Factor∣Factor

TermTermTerm 项可以通过 Term×Factor∣FactorTerm \times Factor \quad | \quad FactorTerm×Factor∣Factor 代替 ;

4 . FactorFactorFactor 因子规则 :

Factor→Expression∣aFactor \to Expression \quad | \quad aFactor→Expression∣a

FactorFactorFactor 因子可以通过 Expression∣aExpression \quad | \quad aExpression∣a 代替 ;

II . 代数表达式语法示例

为字符串 (a+a)×a(a + a) \times a(a+a)×a 构建语法分析树 ;

1 . 起始状态 : 语法的起始状态是 ExpressionExpressionExpression , 根据 Expression→Expression+Term∣TermExpression \to Expression + Term \quad | \quad TermExpression→Expression+Term∣Term 规则 , ExpressionExpressionExpression 可以使用 TermTermTerm 替换 , 直接从起始状态 , 使用 TermTermTerm 替换 ExpressionExpressionExpression ;

2 . (a+a)×a(a + a) \times a(a+a)×a 字符串的语法分析树 :

符号 : 其中有 ×\times× 乘号 ;

语法分析树 : (a+a)×a(a + a) \times a(a+a)×a 中间有 ×\times× , 带有 ×\times× 乘号的替换规则为 Term→Term×Factor∣FactorTerm \to Term \times Factor | FactorTerm→Term×Factor∣Factor , 显然该项很显然是一个 TermTermTerm 项 ;

3 . 根据上述 Term→Term×FactorTerm \to Term \times FactorTerm→Term×Factor 可知 , TermTermTerm 是由 Term×FactorTerm \times FactorTerm×Factor 进行替换的 , 左侧的 (a+a)(a + a)(a+a) 是一个 TermTermTerm , 右侧的 aaa 是一个 FactorFactorFactor ;

4 . 根据 Factor→Expression∣aFactor \to Expression | aFactor→Expression∣a 规则 , 右侧的 FactorFactorFactor 直接使用 aaa 进行替代 , 可得如下语法分析树 :

5 . 想办法将左侧的 TermTermTerm 替换成 (a+a)(a + a)(a+a) :

加法只能是 ExpressionExpressionExpression , 先替换成 ExpressionExpressionExpression ;

6 . 这里先使用 FactorFactorFactor 替换 TermTermTerm : 使用规则 Term→Term×Factor∣FactorTerm \to Term \times Factor | FactorTerm→Term×Factor∣Factor ;

7 . 在使用 ExpressionExpressionExpression 替换 FactorFactorFactor : 使用规则 Factor→Expression∣aFactor \to Expression | aFactor→Expression∣a ;

8 . 使用 Expression+TermExpression + TermExpression+Term 替换 ExpressionExpressionExpression : 使用规则 Expression→Expression+Term∣TermExpression \to Expression + Term | TermExpression→Expression+Term∣Term ;

9 . 使用 TermTermTerm 替换左侧的 ExpressionExpressionExpression : 使用规则 Expression→Expression+Term∣TermExpression \to Expression + Term | TermExpression→Expression+Term∣Term ;

10 . 使用 FactorFactorFactor 替换左侧的 TermTermTerm : 使用规则 Term→Term×Factor∣FactorTerm \to Term \times Factor | FactorTerm→Term×Factor∣Factor ;

11 . 使用 aaa 替换左侧的 FactorFactorFactor : 使用规则 Factor→Expression∣aFactor \to Expression | aFactor→Expression∣a ;

12 . 使用 FactorFactorFactor 替换右侧的 TermTermTerm : 使用规则 Term→Term×Factor∣FactorTerm \to Term \times Factor | FactorTerm→Term×Factor∣Factor ;

13 . 使用 aaa 替换右侧的 FactorFactorFactor : 使用规则 Factor→Expression∣aFactor \to Expression | aFactor→Expression∣a ;

最终的语法分析树为 :

此时可以得到语法分析树 ; 该语法分析树是一个代数表达式 ; 将该语法分析树写出 , 即可理解上下文无关语法 ;

代数表达式就是上下文无关的语法 ;

III . 设计上下文无关语法

给定语言 , 设计上下文无关语法 , 使用该语法可以生成该语言 ;

上下文无关语法设计技巧 : 将复杂的语言分解 , 化整为零 , 针对每个部分设计上下文无关的语法 , 最终将这些语法合并在一起 ;

上下文无关语法与自动机 : 如果给定的语言是正则语言 , 是由正则表达式表达的 , 能够找到一个自动机可以识别该语言 , 首先将语言转换成自动机 , 将自动机转化为上下文无关的语法 ;

IV . 确定性有限自动机 DFA 转为上下文无关语法

1 . 确定性有限自动机 ( DFA ) 转为上下文无关语法 ( CFG ) : 将确定性有限自动机 ( DFA ) 的指令 , 转为对应的上下文无关语法 ( CFG ) 规则 :

δ(qi,a)=qj⇒Ri→aRj\delta ( q_i, a ) = q_j \Rightarrow R_i \to aR_jδ(qi,a)=qj⇒Ri→aRj

δ(qi,a)=qj\delta ( q_i, a ) = q_jδ(qi,a)=qj 表示 qiq_iqi 状态下 , 读取字符 aaa , 跳转到 qjq_jqj 状态 ;

2 . 自动机的状态跳转转换成规则示例 : 上图中的确定性有限自动机 , 开始状态 AAA 读取 111 字符转化成 BBB 状态 , 表示成规则就是

RA→1RBR_A \to 1R_BRA→1RB

3 . 自动机的状态 AAA 读取字符 aaa 转换成另一个状态 BBB , 都可以转换成对应的规则 RA→aRBR_A \to aR_BRA→aRB ;

4 . 计算能力对比 : 上下文无关语法的计算能力要大于等于自动机的计算能力 ;