稳定性是数值分析的一个基本问题。

--L N. Trefethen

一个问题定义为由数据的向量空间 X 到解空间 Y 的一个函数 f:X->Y。相应地，一个算法可以看成是两个相同空间之间的另外一个映射 f{bar}:X->Y。注意，前者大部分情况下是一个连续系统，而由于计算机浮点数表示的原因后者是离散系统（即里面表示的数字是可数的，而针对浮点数而言，它不仅可数，而且是有限个数的）。离散系统要表达出连续系统必然要进行舍入。因而，f^{bar}的结果势必要受到舍入误差的影响。数值稳定性要解决的是一个算法，是否能够使用离散系统取得“正确答案”[1]。

显然，一个好的算法应该保证对于给定的 x，考虑计算的相对误差(||f(x)-f{bar}(x)||)/||f(x)||，自然地，我们期望相对误差很小，由于计算机浮点数精度的限制，它有个界限，不妨记作e_{mach}，如果对每个x，有(||f(x)-f{bar}(x)||)/||f(x)|| = O(e_{mach})，我们就可以说算法 f{bar} 对问题 f 是准确的。进一步地，由于 f{bar} 的定义域是离散的，如果对于每个x，(||f(x)-f{bar}(x{bar})||)/||f(x)|| = O(e_{mach})，对某些满足||x-x{bar}||/||x{bar}||的x成立，则说算法 f{bar}是稳定的。另外，如果f{bar}(x{bar})=f(x)对于满足||x-x{bar}||/||x{bar}||=O(eps_{mach})的x成立，则说算法是向后稳定的。值得注意的是，有些算法是稳定的但不是向后稳定的，如计算sin(x)或cos(x)。给出这么多铺垫，涉及到的符号和术语也很多，连我自己都觉得有些绕，如果只是了解大概内容，上面的内容可以忽略，而直观的解释参见下面叙述的数值例子。

假设一个算法向后稳定，且关于问题的条件数较小的话，那么可以得到准确的结果。这个结论由定理保证：假设一个向后稳定的算法在具有条件数k的问题f:X->Y，则相对误差满足：||f{bar}(x)-f(x)||/||f(x)|| = O(k*eps_{mach})。

实践已经证明，数值代数的大多数算法而言，向前误差分析比起向后误差分析更难于实施（注1）。除此之外，很多时候，向后误差分析能更合理地反映出算法的误差。给出了一个数值例子[1]，关于一个随机矩阵Q和R（注2），然后计算它们的乘积，不妨记作A，使用Householder三角化方法[2]对它进行QR分解，得到数值解Q1和R1，接着分析数值解和理想解之间的误差，结果表明数值的结果仅有2位或者3位有效数字（考虑相对误差），而实际计算过程中采用double型浮点数（即有16位有效数字）。而数值解的两个矩阵的乘积Q1*R1和矩阵A之间的误差能够达到15位的有效数字。另外，如果对Q和R进行微小扰动得到Q2和R2，两者的乘积Q2*R2和A之间的相对误差却仅仅能够达到了3位有效数字。从结果上来看，Q2（或R2）比Q1（或R1）更接近于Q（或R），但是乘积Q2*R2却比乘积Q1*R1更接近于A（Q1和R1中的误差被Wilkinson称为“魔鬼相关”的）。这个例子表明，使用向后误差分析比向前误差分析更合理。

关于向后稳定性的两点结论：

一，Householder三角形化以及相应的使用它来进行QR因子分解求解线性方程组Ax=b向后误差稳定的，前者用数学语言表达出来的形式为：令矩阵A的QR因子分解是由Householder三角形化进行数值计算得到因子Q1和R1，则有Q1*R1=A+dA， ||dA||/||A||=O(eps_{mach})对某个dA成立。

二，关于矩阵特征值有如下的Weyl定理：设 A 和 E 是n*n阶对称阵，设 alpha_1>=alpha_2>=...>=alpha_n 是 A 的特征值，而 alpha_{bar}_1>=alpha_{bar}_2>=...alpha_{bar}_n 是 A_{bar}=A+E 的特征值，则 |alpha_i - alpha_{bar}_i|<=||E||_2。虽然该定理是向前误差分析的结果，但是常常利用该定理可以确定QR迭代法（向后误差稳定）算法计算得到的数值特征值的误差界[3]。

注1：一般而言，大的向前误差可能是一个病态问题或者是一个不稳定算法的结果。

注2：作为一个法则，随机三角形矩阵的列空间序列作为矩阵元素的函数是极端病态的。

参考文献：

[1] 数值线性代数 Chap14-17，L N. Trefethen，David Bau, lll 著，陆金甫，关治译，人民邮电出版社，2006年

[2] 矩阵计算（第三版），Gene H.Golub，Charles F.Van Loan 著，袁亚湘等译，人民邮电出版社，2011年

[3] 应用数值线性代数 Chap5，J W. Demmel 著，王国荣译，人民邮电出版社，2007年