递归--整数划分问题

问题描述：

将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。

问题1：

输出整数n的所有可能的划分，如：

输入：6

输出： 5+1；

　　4+2，4+1+1；

　 3+3，3+2+1，3+1+1+1；

　　2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；

　　1+1+1+1+1+1。

我的思路：这种问题已经遇到过很多了，递归搜索所有可能的情况，同时为了记录下每一步的情况，那么就要用到一个数组mark来存储每一步的数，然后递归同时要传递递归的深度k。还有个问题就是递归下一个数的时候，因为是递减的排列的。所以我们还必须记录下上一个的数，然后下一个数必须小于或者等于上一个数。最后递归函数还有有个参数记录当前的长度，来判断是否能够组成我们想要的长度，不能的话就回溯，继续往下一个数去尝试。OK！

代码：

//整数划分问题
#include <stdio.h>

int mark[10];
int n;

void Divid(int now,int k,int prio)
{
    //now记录当前长度，k记录深度，prio记录前一个的值。
    int i;
    if(now > n) return; //不合适，返回。
    if(now == n)
    {
        for(i = 0; i < k-1; i++)
            printf("%d+",mark[i]);
        printf("%d\n",mark[i]);
    }
    else
    {
        for(i = prio; i > 0; i--)
        {
            if(i <= prio) //必须必前一个要小
            {
                mark[k]=i;
                now+=i;
                Divid(now,k+1,i);
                now-=i;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    Divid(0,0,n-1);
    return 0;
}
/5/29 14:17

问题2：求正整数n的不同划分个数,将最大数n1不大m的划分记住做q(n,m),叫做n的m划分。

输入：n m

输出：n的m划分的总个数。

我的思路:首先要找出递归的公式来，首先分析几种简单的情况，n==1||m==1可以直接得出结果为1；而当n<m时，可以直接求出q(n,n)；当n=m时，因为对于n本身只有一种情况，即n，所有可以直接用1+q(n,n-1)来求。最后当n>m时，可以用q(n,m-1)+q(n-m,m),其中q(n-m,m表示的时当m固定后，求剩下可能的情况。参考下图：

代码：

//求整数划分的个数
#include <stdio.h>

int Divid(int n, int m)
{
    if (n == 1 || m == 1) return 1; //必须是或
    if (n < m) return Divid(n,n);
    if (n == m) return 1 + Divid(n,n-1);
    return Divid(n,m-1) + Divid(n-m,m);
}

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    printf("%d\n",Divid(n,m));
    return 0;
}
/5/29 14:35

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