整数划分问题 递归 动态规划 openjudge 百练 python
2024-04-15 11:42:15
4117:简单的整数划分问题
http://bailian.openjudge.cn/practice/4117
4119:复杂的整数划分问题
http://bailian.openjudge.cn/practice/4119
# 把正整数N划分成 K个正整数 之和的划分数目 0 < K <= N
def NK_dp(n, k):dp = [[0 for i in range(n + 1)] for j in range(n + 1)]dp[0][0] = 1 # 第1行 = 1for i in range(1, n + 1): # 遍历第[1,n]行for j in range(0, i + 1): # 遍历第[0,i]列if j == 1: # 第1行 = 1dp[i][j] = 1else: # 左上 + 上dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j]return dp[n][k]# 把正整数N划分成 K个正整数 之和的划分数目 0 < K <= N
def NK_recur(n, k):# NK_recur(0, 0) = 1 为什么？？？？？？？？？？if n == k or k == 1:# 当n == k时，N划分成 K个1# 当k == 1时，N划分成 1个Nreturn 1 # 对角线和第1行 = 1elif n < 1 or k < 1 or n < k:return 0 # 第0行，第0列，对角线右上方 = 0else: # 左上 + 上# 把正整数i划分成 j个正整数（不存在1） 之和的划分数目 =# 把正整数(i-j)划分成 j个正整数 之和的划分数目 NK_recur[i-j][j] 每个整数都同时减1# 把正整数i划分成 j个正整数（存在1） 之和的划分数目 =# 把正整数(i-1)划分成 (j-1)个正整数 之和的划分数目 NK_recur[i-1][j-1] 去掉里面的1return NK_recur(n - 1, k - 1) + NK_recur(n - k, k)# 把正整数n划分成 n<m的 若干个 不同正整数 之和的划分数目
# N划分成 若干个不同正整数 之和的划分数目
def Ndiff_dp(n):dp = [[0 for i in range(n + 1)] for j in range(n + 1)]dp[0][0] = 1 # 除了[0][0]是1之外，第0列都是0for i in range(n + 1): # 遍历第[0,n]行for j in range(1, n + 1): # 遍历第[1,n]列if i < j:dp[i][j] = dp[i][i]else:dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j - 1]return dp[n][n]# 把正整数n划分成 n<m的 若干个 不同正整数 之和的划分数目
def Ndiff_recur(n, m):if (n == 0): #return 1 # 第0行 为什么是1？？？elif (m < 1): # 因为 m < 1 不是正整数，所以返回0return 0 # 除了[0][0]是1之外，第0列都是0elif (n < m):return Ndiff_recur(n, n) # 左elif (n == m):# 当划分包含 m 时， m = m ,只有一种划分方法；# 当 不包含 m 时， 有 func(n, m - 1) 种划分方法。return Ndiff_recur(n, m - 1) + 1 # 左 + 1elif (n > m): # 上左 + 左# (1)划分中包含 m 时，有func(n - m, m - 1)种划分方法# (2)划分中不包含 m 时，有func(n, m - 1)种划分方法return Ndiff_recur(n - m, m - 1) + Ndiff_recur(n, m - 1)# 把正整数n划分成 n<m的 若干个 可相同的正整数 之和的划分数目
def Nsame_recur(n, m):if (n == 1 or m == 1):# （1）当 n == 1 时，无论 m 取何值，都只能 划分为 1；# （2）当 m == 1 时 ，无论 n 为何值， 也只能划分为 n 个 1 相加 ，只有一种划分方法；return 1elif (n < m):return Nsame_recur(n, n) # 左elif (n == m):# 当划分包含 m 时， m = m ,只有一种划分方法；# 当 不包含 m 时， 有 func(n, m-1) 种划分方法。return Nsame_recur(n, m - 1) + 1 # 左 + 1elif (n > m):# (1)划分中包含 m 时， 有func(n -m, m) 种划分方法；# (2)划分中不包含 m 时， 有 func(n, m-1)种划分方法；return Nsame_recur(n - m, m) + Nsame_recur(n, m - 1) # 上 + 左# 把整数 n 划分为 <= n 的一系列数字之和 的划分方法种数
def Nsame_dp(n):f = [[0 for t in range(n + 1)] for i in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1): # 从左到右遍历列[1,n]f[i][1] = 1 # 第1列 = 1for m in range(2, n + 1): # 从左到右遍历列[2,n]f[1][m] = 1 # 第1行 = 1for i in range(2, n + 1): # 从上到下遍历行[2,n]if (i < m): # n < m 在对角线上方f[i][m] = f[i][i]elif (i == m):f[i][m] = f[i][m - 1] + 1else: # n >= m 在对角线上或其下方f[i][m] = f[i - m][m] + f[i][m - 1]return f[n][n]def DivideInt_dp(N, K): # 动态规划dp1 = [[0 for i in range(N + 1)] for j in range(N + 1)]dp2 = [[0 for i in range(N + 1)] for j in range(N + 1)]dp3 = [[0 for i in range(N + 1)] for j in range(N + 1)]# dp[n][k] 把正整数n划分成 k个正整数 之和的划分数目 0 < K <= N# dp[n][m] 把正整数n划分成 n<m的 若干个 不同正整数 之和的划分数目# dp[n][m] 把正整数n划分成 n<m的 若干个 可相同的正整数 之和的划分数目for i in range(1, N + 1):for j in range(1, N + 1):if (i < j):dp1[i][j] = 0dp2[i][j] = dp2[i][i]dp3[i][j] = dp3[i][i]elif (i == j):dp1[i][j] = 1dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + 1dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + 1else:# dp[n][k] = dp[n - k][k] + dp[n - 1][k - 1]dp1[i][j] = dp1[i - j][j] + dp1[i - 1][j - 1]# dp[n][m] = dp[n][m - 1] + dp[n - m][m - 1]dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + dp2[i - j][j - 1]# dp[n][m] = dp[n][m - 1] + dp[n - m][m]dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + dp3[i - j][j]# dp1[N][K] 把正整数N划分成 K个正整数 之和的划分数目 0 < K <= N# dp2[N][N] 把正整数N划分成 若干个 不同正整数 之和的划分数目# dp3[N][N] 把正整数N划分成 若干个 可相同的正整数 之和的划分数目return dp1[N][K], dp2[N][N], dp3[N][N]def DivideOddInt_dp(N):f = [[0 for i in range(N + 1)] for j in range(N + 1)] # N划分成K个奇正整数之和的划分数目g = [[0 for i in range(N + 1)] for j in range(N + 1)] # N划分成K个偶正整数之和的划分数目# 把i-j划分成j个正奇数 → 把j个正奇数分别+1 → 把i划分成j个正偶数，即 f[i-j][j] = g[i][j]# 把i-j划分成j个正偶数 → 把j个正偶数分别+1 → 把i划分成j个正奇数，即 g[i-j][j] = f[i][j]f[0][0] = 1g[0][0] = 1for i in range(1, N + 1): # 遍历第[1,N]行for j in range(1, i + 1): # 遍历第[1,i]列g[i][j] = f[i - j][j] # 上# 划分中不包含1：划分中每个数都>1，那么每个数都-1变成j个正偶数# 问题变为 把i-j划分成j个正偶数 g[i-j][j]# 划分中包含1：把这个1去掉，问题变为 把i-1划分成j-1个正奇数 f[i-1][j-1]f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j] # 上左 + 上return f, g# 把正整数N划分成 若干个 奇正整数 之和的划分数目
def Nodd_dp(n):dp = [[0 for i in range(n + 1)] for j in range(n + 1)]for i in range(0, n + 1):dp[i][1] = 1if (i % 2) == 1:dp[0][i] = 1 # 预处理第0层for i in range(1, n + 1):for j in range(1, n + 1):if (j % 2) == 1:if (j <= i):dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i][j - 1]else:dp[i][j] = dp[i][i]else:dp[i][j] = dp[i][j - 1] # 当前非奇数return dp[n][n]# https://blog.csdn.net/tp7309/article/details/54880495
while True:try:line = input().split()except EOFError:breakN = int(line[0])K = int(line[1])# dp1[N][K] 把正整数N划分成 K个正整数 之和的划分数目 0 < K <= N# dp2[N][N] 把正整数N划分成 若干个 不同正整数 之和的划分数目# dp3[N][N] 把正整数N划分成 若干个 可相同的正整数 之和的划分数目ans1, ans2, ans3 = DivideInt_dp(N, K)# 把正整数N划分成K个奇正整数之和的划分数目# 把正整数N划分成K个偶正整数之和的划分数目ff, gg = DivideOddInt_dp(N)# dp1[N][K] 把正整数N划分成 K个正整数 之和的划分数目 0 < K <= Nprint(ans1)print(NK_recur(N, K))print(NK_dp(N, K))print()# dp2[N][N] 把正整数N划分成 若干个 不同正整数 之和的划分数目print(ans2)print(Ndiff_recur(N, N))print(Ndiff_dp(N))print()# dp3[N][N] 把正整数N划分成 若干个 可相同的正整数 之和的划分数目print(ans3)print(Nsame_recur(N, N))print(Nsame_dp(N))print()# 把正整数N划分成 若干个 奇正整数 之和的划分数目sumsum = 0 # 对第N行求和for i in range(0, N + 1):sumsum += ff[N][i]print(sumsum)print(Nodd_dp(N))
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