P4735 最大异或和（可持久化trie树、求最大区间异或和）

P4735 最大异或和

我们维护一个前缀异或和:s[i]=a[1]xora[2]xor…a[i−1]xora[i]s[i] = a[1] \ xor\ a[2]\ xor\ … a[i-1] \ xor\ a[i]s[i]=a[1] xor a[2] xor …a[i−1] xor a[i]

则a[p]xora[p+1]xor…xora[N]xorxa[p]\ xor\ a[p+1]\ xor\ …\ xor\ a[N]\ xor\ xa[p] xor a[p+1] xor … xor a[N] xor x 就相当于 s[N]xorxxors[p−1]s[N] \ xor\ x\ xor\ s[p-1]s[N] xor x xor s[p−1]。

这样S[N]xorxS[N] \ xor\ xS[N] xor x就是一个定值valvalval，则相当于求一个 ppp 满足l−1<=p−1<=r−1l-1 <= p-1 <= r-1l−1<=p−1<=r−1 使得 valxors[p]val \ xor\ s[p]val xor s[p] 值最大。

因为是异或运算，我们可以利用 “最大异或对” 这道题的一些性质，使用 trietrietrie 树。我们维护前缀异或和，找到一个 ppp ，贪心地使得s[p]s[p]s[p]的二进制最高位开始到最低位的每一个数字都尽量与 valvalval 的二进制对应位相反（相同为0不同为1）
前缀异或和的每个版本都可以用持久化的 trietrietrie 记录下来。
对持久化 trietrietrie 的每个节点额外维护一个信息 max_idmax\_idmax_id ，表示其所属的最大的持久化版本，显然一个节点的 max_idmax\_idmax_id 等于其子节点中最大的版本号（因为子节点要么是连向之前的版本，要么创建了该节点后再创建子节点）。

因为要满足边界性所以要用可持久化trie树的保存历史版本来界定边界

边界[l−1,r−1][l-1, r-1][l−1,r−1] 判断：

如果一个节点的 max_idmax\_idmax_id 小于 l−1l-1l−1 ，说明这个节点是 s[l−1]s[l-1]s[l−1] 插入之前就已经创建出来的节点，不应该考虑在内。

对持久化树的某一个版本的根节点开始往下访问，所能访问到的节点的版本不会超过该根节点的版本,所以该题只需要从 r−1r-1r−1 版本开始访问即可满足取到的 ppp 小于等于 r−1r-1r−1。

//trie树维护的是前缀异或和的二进制01串
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 500007, M = N * 25;
/*
template<typename T>inline T read(T &x)
{x=0;ll f=1;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=-1;while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}return x*f;
}
*/
int n, m;
int sum[N];
int tr[M][2], max_id[M];
int root[N], idx;
//当前的区间位置（到时候[L,R]对比的就是这里的i）k表示当前是第几位，一共23位2^23，越高越大
void insert(int i, int k, int p, int q){//p上一个版本q下一个版本if(k < 0){max_id[q] = i;return ;}int v = sum[i] >> k & 1;if(p)//如果上个版本的当前结点是有东西的就继承一下tr[q][v ^ 1] = tr[p][v ^ 1];tr[q][v] = ++ idx;insert(i, k - 1, tr[p][v], tr[q][v]);max_id[q] = max(max_id[tr[q][0]], max_id[tr[q][1]]);
}int query(int root, int C, int L){int p = root;for(int i = 23;i >= 0;i -- ){int v = C >> i & 1;//如果版本小于L-1，说明这个节点是s[l-1]插入之前就已经创建出来的节点，不应该考虑在内if(max_id[tr[p][v ^ 1]] >= L)//如果与当前这一位相反的数存在并且该数的位置在范围以内（求异或相反为1更大）p = tr[p][v ^ 1];else p = tr[p][v];}return C ^ sum[max_id[p]];
}int main(){scanf("%d%d", &n, &m);max_id[0] = -1;//因为id从0开始这里要取一个更小的root[0] = ++ idx;insert(0, 23, 0, root[0]);for(int i = 1;i <= n; ++ i){int x;scanf("%d", &x);sum[i] = sum[i - 1] ^ x;//前缀异或和root[i] = ++ idx;insert(i, 23, root[i - 1], root[i]);//可持久化都是跟上一个版本比较}char op[2];int l, r, x;while(m -- ){scanf("%s", op);if(*op == 'A'){scanf("%d", &x);n ++ ;sum[n] = sum[n - 1] ^ x;root[n] = ++ idx;insert(n, 23, root[n - 1], root[n]);}else {scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);//l<=p<=r,所以要查询r-1版本的printf("%d\n", query(root[r - 1], sum[n] ^ x, l - 1));}}
}

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