《挑战程序设计竞赛》之“反转”问题总结

萌新又来写总结了
“反转”问题在《挑战程序设计竞赛》P150左右的位置~

拒！绝！搜！索！

这类问题有以下几个特征：
1.大多集中在一维/二维两种情形，二维数据范围一般很小（毕竟需要一部分的枚举）；是对一个区间/相邻几个格子进行反转；
2.一般用搜索（dfs/bfs）是无法在规定时间内完成的（除非数据太小）；
3.每一个格子有两个状态（正/反），区间的反转顺序对最终的结果毫无影响；
4.对某一个格子进行两次以上的反转是多于的，所以只需要%2便可知道反转的结果。

借用一句话：
“反转法跟尺取法有点像，都是限定一个区间，往前挪动，尾部挪动之后，需要减掉尾部的影响。”

这里列举几个经典题目：
一维反转：
Face The Right Way POJ - 3276
The Water Bowls POJ - 3185
二维反转：
Fliptile POJ - 3279
The Pilots Brothers’ refrigerator POJ - 2965
Flip Game POJ - 1753
EXTENDED LIGHTS OUT POJ - 1222

A. Face The Right Way POJ - 3276

tips:我们可以认为，这“反转连续的K头牛”只能按照序号递增的顺序（比如k = 3 ，反转 7 6 8三头连续的牛，可以认为是以6号为起点，连续反转6 7 8 三头牛，顺序毫无影响）。即：问题被转化为求需要反转的区间的集合。

对于最后不足k头牛，直接进行判断，无需再反转（已经不够k头牛了）。

#include<cstdio>
#include<cstring>const int maxn = 5005;
int book[maxn],flip[maxn],n,k,m,ans,reck;
char c;int solve(int k){memset(flip,0,sizeof(flip));int sum = 0, res = 0;         //res用来统计答案（反转次数）for(int i = 1; i <= n - k + 1; ++i){if((book[i] + sum) % 2 == 0)  flip[i] = 0;else   sum++, res++, flip[i] = 1;if(i - k >= 0)   sum -= flip[i - k + 1];   //为下一个位置做准备}for(int i = n - k + 2; i <= n; ++i){        //直接判断if((book[i] + sum) % 2 != 0)    return -1;if(i - k >= 0)    sum -= flip[i - k + 1];}return res;
}int main(){scanf("%d",&n); ans = 1e9;for(int i = 1; i <= n; ++i){getchar();scanf("%c",&c);book[i] = (c == 'B' ? 1 : 0);}for(k = 1; k <= n; ++k){int tmp = solve(k); if(tmp != -1 && ans > tmp){ans = tmp;reck = k;}}printf("%d %d\n",reck,ans);return 0;
}

B.The Water Bowls POJ - 3185

tips：和上一个题相似，只是限定了每次反转自己和相邻2个格子。可以直接运算，不用像上一题那样用sum记录。【唯一的区别在于，如果是两头的格子，只能反转2个；中间的格子可以反转3个，k不是固定值】
注意分类讨论：第一个格子不反转/第一个格子反转。
我们认为，从最左端开始，当某一个格子定下来之后，只有后一个格子能改变他（因为他前面的和他已经定下来了），因此根据当前格子的状态可以唯一确定下一个格子的反转次数。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;int book[25],flip[25],minn,tmp[25];void solve1(){       //第一个格子不反转int cnt = 0;memcpy(tmp, book, sizeof(book));memset(flip, 0,sizeof(flip));for(int i = 2; i <= 20; ++i){if((flip[i - 1] + tmp[i - 1]) % 2 == 0)  continue;   //当前格子反转与否，取决于前一个格子的状态else   flip[i]++, tmp[i + 1]++, cnt++;  //当前格子反转，下一个格子的 状态也会受影响，用tmp++表示。之所以用memcpy，是不想改变原来的数据}if((flip[20] + tmp[20]) % 2 == 0)minn = min(minn, cnt);
}void solve2(){     //第一个格子反转int cnt = 0;memset(flip, 0,sizeof(flip));memcpy(tmp, book, sizeof(book));flip[1] = 1, tmp[2]++, cnt++;for(int i = 2; i <= 20; ++i){if((flip[i - 1] + tmp[i - 1]) % 2 == 0) continue;else   flip[i]++, tmp[i + 1]++, cnt++;}if((flip[20] + tmp[20]) % 2 == 0)minn = min(minn, cnt);
}int main(){minn = 1e5;for(int i = 1; i <= 20; ++i)scanf("%d",&book[i]);solve1(); solve2();printf("%d",minn);return 0;
} /*
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
*/

也可以借鉴A题的写法，两次处理（第一个元素改/不改）。注意修改最后一个数据时，只能修改2个，所以判断只是对最后一个进行判断，而不是从第n-k+2个。
另一种写法：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;const int maxn = 25;
int book[maxn],filp[maxn],n,k,minn;int solve(int k){memset(filp,0,sizeof(filp));int sum = 0, res = 0;for(int i = 1; i <= n - 1; ++i){if((book[i] + sum) % 2 == 0)   filp[i] = 0;else   sum++, res++, filp[i] = 1;if(i - k >= 0)   sum -= filp[i - k + 1];}return (book[n] + sum) % 2 != 0 ? -1 : res;
}int main(){n = 20;for(int i = 1; i <= n; ++i)scanf("%d",&book[i]);int tmp1 = solve(3);      //k = 3， 第一个不反转book[1]++, book[2]++;        //第一个反转相当于次数+1，第1、2个数据+1int tmp2 = solve(3) + 1;printf("%d",min(tmp1,tmp2));   return 0;
}

C.Fliptile POJ - 3279

非常经典的二维反转。因为n,m最大可以到15，用dfs/bfs必会TLE。
每一个格子可以改变自己和上下左右，所以无法向一维反转那样做（因为能改变（1,1）的还可以有（1,2）和（2,1），而上一个题让最左端牛改变的方法只有一种，因为只有一个区间包含1）。

我们可以枚举第一行的所有反转情况，第一行的反转情况定下后，只有其下一行可以改变上一行的状态，以此类推，直到最后一行，然后检查最后一行是否都为0即可。

tips:状态压缩，用二进制表示集合的枚举。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;const int maxn = 20;
int n,m,book[maxn][maxn],flip[maxn][maxn],ans[maxn][maxn];
int dir[5][2] = {{1,0},{-1,0},{0,0},{0,1},{0,-1}};int getcolor(int x, int y){int c = book[x][y];for(int k = 0; k < 5; ++k){int tx = x + dir[k][0], ty = y + dir[k][1];if(tx < 1 || ty < 1 || tx > m || ty > n)  continue;c += flip[tx][ty];}return c % 2;
}int calc(){for(int i = 2; i <= m; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j)if(getcolor(i - 1, j))  flip[i][j] = 1;for(int j = 1; j <= n; ++j)if(getcolor(m, j))    return -1;int cnt = 0;for(int i = 1; i <= m; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j)cnt += flip[i][j];return cnt;
}void solve(){int res = -1;for(int s = 0; s < 1 << n; ++s){memset(flip, 0, sizeof(flip));for(int j = 1; j <= n; ++j)flip[1][j] = s >> (j - 1) & 1;int num = calc();if(num >= 0 && (res < 0 || res > num)){res = num;memcpy(ans, flip, sizeof(flip));}}if(res < 0) printf("IMPOSSIBLE\n");else{for(int i = 1; i <= m; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j)printf("%d%c",ans[i][j], j == n ? '\n' : ' ');}
}int main(){scanf("%d%d",&m,&n);for(int i = 1; i <= m; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j)scanf("%d",&book[i][j]);solve();return 0;
}

D.Flip Game POJ - 1753
tips:差不多的题，只是n = m = 4，数据范围大幅度缩小，且“翻成同一个面”可以都是正，也可以都是反，分两类讨论即可。
数据范围太小导致dfs也可以过，但是还是反转更优一些。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;int book[10][10],flip[10][10];
int dir[5][2] = {{1,0},{-1,0},{0,0},{0,1},{0,-1}};
char c;int getcolor(int x ,int y){int c = book[x][y];for(int k = 0; k < 5; ++k){int tx = x + dir[k][0], ty = y + dir[k][1];if(tx < 1 || ty < 1 || tx > 4 || ty > 4)  continue;c += flip[tx][ty];}return c % 2;
}int calc1(){for(int i = 2; i <= 4; ++i)for(int j = 1; j <= 4; ++j)if(getcolor(i - 1, j)) flip[i][j] = 1;for(int j = 1; j <= 4; ++j)if(getcolor(4, j))    return -1;int cnt = 0;for(int i = 1; i <= 4; ++i)for(int j = 1; j <= 4; ++j)cnt += flip[i][j];return cnt;
}int calc2(){for(int i = 2; i <= 4; ++i)for(int j = 1; j <= 4; ++j)if(getcolor(i - 1, j) == 0)  flip[i][j] = 1;for(int j = 1; j <= 4; ++j)if(getcolor(4, j) == 0) return -1;int cnt = 0;for(int i = 1; i <= 4; ++i)for(int j = 1; j <= 4; ++j)cnt += flip[i][j];return cnt;
}void solve(){int res1 = -1, res2 = -1;for(int s = 0; s < 1 << 4; ++s){memset(flip, 0, sizeof(flip));for(int j = 1; j <= 4; ++j)flip[1][j] = s >> (j - 1) & 1;int num1 = calc1();if(num1 >= 0 && (res1 == -1 || res1 > num1)) res1 = num1;}for(int s = 0; s < 1 << 4; ++s){memset(flip, 0, sizeof(flip));for(int j = 1; j <= 4; ++j)flip[1][j] = s >> (j - 1) & 1;int num2 = calc2();if(num2 >= 0 && (res2 == -1 || res2 > num2))    res2 = num2;}if(res1 == -1 && res2 == -1)  printf("Impossible\n");else if(res1 == -1)  printf("%d",res2);else if(res2 == -1)   printf("%d",res1);else    printf("%d",min(res2, res1));
} int main(){for(int i = 1; i <= 4; ++i){for(int j = 1; j <= 4; ++j){scanf("%c",&c);book[i][j] = (c == 'b') ? 1 : 0;       //b是1}getchar();}solve();return 0;
}

E.EXTENDED LIGHTS OUT POJ - 1222
tips:同3279.多组输入，且固定m = 5, n = 6。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;const int maxn = 10;
int t,n,m,book[maxn][maxn],flip[maxn][maxn],ans[maxn][maxn];
int dir[5][2] = {{1,0},{-1,0},{0,0},{0,1},{0,-1}};int getcolor(int x, int y){int c = book[x][y];for(int k = 0; k < 5; ++k){int tx = x + dir[k][0], ty = y + dir[k][1];if(tx < 1 || ty < 1 || tx > m || ty > n)  continue;c += flip[tx][ty];}return c % 2;
}int calc(){for(int i = 2; i <= m; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j)if(getcolor(i - 1, j))  flip[i][j] = 1;for(int j = 1; j <= n; ++j)if(getcolor(m, j))    return -1;int cnt = 0;for(int i = 1; i <= m; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j)cnt += flip[i][j];return cnt;
}void solve(){int res = -1;for(int s = 0; s < 1 << n; ++s){memset(flip, 0, sizeof(flip));for(int j = 1; j <= n; ++j)flip[1][j] = s >> (j - 1) & 1;int num = calc();if(num >= 0 && (res < 0 || res > num)){res = num;memcpy(ans, flip, sizeof(flip));}}if(res < 0) printf("IMPOSSIBLE\n");else{for(int i = 1; i <= m; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j)printf("%d%c",ans[i][j], j == n ? '\n' : ' ');}
}int main(){scanf("%d",&t);for(int x = 1; x <= t; ++x){m = 5, n = 6;for(int i = 1; i <= m; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j)scanf("%d",&book[i][j]);printf("PUZZLE #%d\n",x);solve();}return 0;
}

F.The Pilots Brothers’ refrigerator POJ - 2965

tips:有点变化。以上的二维反转都是只改变自己和上下左右，这个题除了改变自己，还会改变所在行、所在列的所有格子。固定大小4*4.

一个重要的发现：如第一行第二个是+，那个只要他所在的行和列的格子全都翻转一次，就会让当前的 + 变成 - ，但是其他格子全部都不会发生变化。（证明：某一个格子所在行/列一共加起来的反转次数如果是偶数，该格子不变；奇数，该格子反转。上述操作后，整个棋盘除了该格子反转次数是奇数（4 + 3 == 7），其余位置均为偶数。可以动手算一下）
于是，发现+格子，就把他所在行列所有格子的flip++，最后答案就是所有格子的(flip%2)相加。

4*4用dfs也能过，但是用反转的思想显然比dfs快很多。

#include<cstdio>
#include<utility>
#include<vector>
using namespace std;int book[5][5], flip[5][5],ans;
char c;
vector<pair<int,int> > v;
vector<pair<int,int> > :: iterator it;void change(int x, int y){for(int i = 1; i <= 4; ++i)  flip[x][i]++;for(int i = 1; i <= 4; ++i)   flip[i][y]++;flip[x][y]--;
}int main(){for(int i = 1; i <= 4; ++i){for(int j = 1; j <= 4; ++j)scanf("%c",&c), book[i][j] = (c == '+') ? 1 : 0;getchar();}for(int i = 1; i <= 4; ++i){for(int j = 1; j <= 4; ++j){if(book[i][j])    change(i, j);}}for(int i = 1; i <= 4; ++i)for(int j = 1; j <= 4; ++j){ans += flip[i][j] % 2;if(flip[i][j] % 2)  v.push_back(make_pair(i, j)); }printf("%d\n",ans);for(it = v.begin(); it != v.end(); ++it)printf("%d %d\n",it->first, it->second);return 0;
}

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