正弦信号有效值 c语言,推导正弦波正弦量、平均值、有效值基本公式
一、基本公式
对于一个时间函数的正弦波:
即函数是u=F(t),注意u≠sin(t),F≠sin。
但是它是一个正弦波,故u=sin(£),£与t存在关系
即:u=F(t)=sin(£),£与t存在关系,£的单位是角度,t的单位是秒。sin只能对“角度”,不能对“秒”。“秒”要转换成“角度”才能sin。
现在来求解£是什么,发现:
O点,t=0时,£=0
A点,t=T时,£=2π
B点,t=2T时,£=2×2π
即£与t的关系是 £=(2π/T)×t
故得:u=F(t)=sin(£)=sin((2π/T)t) !!!!
另,
角速度=2π/t
角频率ω=2π/T=2πf,T为周期,f为频率
故最终:u=sinωt !!!!
即t乘以ω后,就变成角度了,ωt是角度,就可以sin了!
二、对于各种提前、延后的情况:
即sin函数里面的都是角度!
时间需要乘以ω转成角度。
角度要转成时间,就要除以ω。
π/2=ω×T/4,即T/4相当于是π/2。
三、平均值
时间和角度是相当的,角度可以代替时间去计算,这就方便多了。
1. 正弦波平均值肯定为0。
把角度当作时间来简化计算。
把2π当作周期T,把小片段角度d£当作小片段时间dt。
在一个周期T内的平均值,即是∫u×dt/T,即相当于∫u×d£/2π
用角度时:u=sin£
则∫u×d£/2π=∫sin£×d£/2π
在0~2π区间作积分:
故∫sin£d£/2π=(-cos2π+cos0)/2π=0
2. 全波整流的平均值:
只要计算0~π即可:
∫sin£d£/π=(-cosπ+cos0)/π=2/π=0.6366
即平均值=峰值的0.6366倍。
3. 半波整流的平均值
计算0~π,但周期要按2π算:
∫sin£d£/2π=(-cosπ+cos0)/π=2/2π=0.3183
即平均值=峰值的0.3183倍。
四、有效值
时间和角度是相当的,角度可以代替时间去计算,这就方便多了。
1. 正弦波有效值
把角度当作时间来简化计算。
把2π当作周期T,把小片段角度d£当作小片段时间dt。
在一个周期T内的有效值,即是计算一个周期T内的热量值相同的等效电压:
一个周期T内的热量值(假设电阻R=1):∫u^2×dt,即相当于∫u^2×d£
用角度时:u=sin£
则∫u^2×d£=∫sin2£×d£
在0~2π区间作积分:
故∫sin2£d£=(2π/2-1/4×sin4π)-(0/2-1/4×sin0)=π
等效电压Uo产生的热量值=Uo^2×2π等于∫sin2£d£=π
故:Uo^2×2π=π
最终得:Uo=0.707
即有效值等于峰值的0.707倍
2. 全波整流的有效值:
只要计算0~π即可:
故∫sin2£d£=(π/2-1/4×sin2π)-(0/2-1/4×sin0)=π/2
故:Uo^2×π=π/2
最终得:Uo=0.707
即有效值等于峰值的0.707倍
3. 半波整流的有效值
只要计算0~π,但周期要按2π算:
故∫sin2£d£=(π/2-1/4×sin2π)-(0/2-1/4×sin0)=π/2
故:Uo^2×2π=π/2
最终得:Uo=0.5
即有效值等于峰值的0.5倍
五、汇总
总之,sin函数里面一定是角度。时间需要乘以ω转成角度。角度可以等效成时间来计算。
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