晓查 发自 凹非寺 
量子位 报道 | 公众号 QbitAI

诺贝尔奖没有数学奖，但是如果数学足够好的话，可以拿两次诺贝尔奖：

帮别人拿一次，自己再拿一次。

刚刚获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）就是这样。

今年，彭罗斯凭借数学在广义相对论和黑洞研究中的应用，获得了诺贝尔物理学奖。

而在几十年前，彭罗斯的另一项数学发现曾帮助别人获得过诺贝尔奖。

2011年，以色列科学家丹尼尔·舍特曼（Daniel Shechtman）因为发现准晶体获得了当年的诺贝尔理综化学奖。

准晶体于1982年被发现。而准晶体的理论却和十几年前一个看似毫不相干的数学概念——彭罗斯地砖——有关。

彭罗斯地砖（Penrose tiling）可不是什么家装品牌的名字，是由彭罗斯提出的一种铺满平面的方案。

△ 彭罗斯站在彭罗斯地砖上

这种极简而又不同寻常的地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对晶体认知的局限。

铺地砖

彭罗斯地砖的设计最早可以追溯到半个世纪前。

看看你脚下的地砖，它是不是简单而又重复。数学家们却想把问题搞得复杂一点。

如何设计一款地砖铺满平面，这是个看似非常简单的问题。如果地砖形状被限制为统一的正多边形，那么很容易看出只有正三角形、正方形、正六边形可以铺满平面。

正五边形，因为它的角是108°，无法凑成360°，所以是没法铺满平面的。

如果地砖的形状不限制是正多边形，甚至不限制一种，那么铺满平面的方式就有无数种了。

比如像下面这种由2种菱形铺满的情况：

无论是这种平铺，还是前面用正多边形平铺，它们都有一个共同的特点：具有周期性。

所谓周期性，是指把转换朝着某个方向平移一段距离后，能够和自身重合。

△ 几种周期性的平铺设计

那么有没有一种方法是不具有周期性，同时又能铺满整个平面呢？

1960年代，美籍华裔逻辑学家王浩研究了这个问题，他给出了一种新的图形：王氏砖。

王氏砖虽然也是正方形，但是每个边都被涂上不同颜色，而且王浩规定，只有相同颜色边才能相邻。

不过王浩认为存在一种算法，可以算出王氏砖铺满平面的方法。换句话说，他认为铺满屏幕的方案只能是周期性的。

而他的学生Robert Berger却证明了，实际上是不存在这种算法的。他指出，在某些情况下，只有图灵机不停止时，才能将王氏砖铺满平面。即存在非周期性平铺。

用上面的13块砖，可以实现非周期性平铺的。从色块上来看，这种方法杂乱无章。

后来，彭罗斯发现，其实不需要这么多种砖块，而且砖块也不一定是方形。比如用五边形、五角星、菱形、船型四种图形组合可以实现非周期性平铺。（该方法是彭罗斯1974年论文提出的。）

最后，彭罗斯发现，最少只用两种形状就可以实现非周期性平铺：一个“瘦菱形”和一个“胖菱形”。

而这种方法其实和上面五边形方案是等价的。

至此，非周期性平铺问题算是告一段落，数学家们把它研究出来，没想过有什么实际用途。如果非要说实际用途，那么算是给地砖设计提供了一种新思路，也算是一种艺术贡献吧。

直到1982年以色列科学家舍特曼新发现一种“特殊的晶体”。

准晶体

和地砖一样，晶体也可以看成是不同形状拼接而成，不过晶体铺满的是三维空间。

过去，科学家们认为，晶体也只有像三角形、正方形、六边形等几种平铺方式。我们每天吃的食盐，它的晶体结构是立方体。

至于五边形，因为没有周期性，不符合晶体对称性的要求，科学家从来没考虑过晶体能按五边形排列。

然而，舍特曼发现，用X光照射某些合金（比如钬镁锌合金）的时候，产生的衍射花纹非常奇特，一圈有10个点。说明这种合金的结构里有五边形。

如果把这种合金结晶，可以看到晶体形成了12面体，每个面都是五边形。

科学家们把这种物质叫做“准晶体”，它和彭罗斯地砖一样，没有平移对称性，但是却有旋转对称性，每绕圆周旋转1/5都能和自身重合。

这可真是颠覆了科学家们的认知。连诺贝尔化学奖获得者鲍林都不信，对此予以强烈批判：“没有准晶体，只有伪科学家。”

彭罗斯地砖在这时候派上了大用场。如果原子按照彭罗斯地砖那样排列，那么理论计算出的X射线衍射图样就和实验结果一样。

事实胜于雄辩。随着技术的发展，科学家们也拍出了准晶体的原子排列图像，的确能看到五边形的存在。

最终，舍特曼凭借此发现获得了诺贝尔奖。

文化符号

除了帮助舍特曼获得诺贝尔奖，彭罗斯地砖已经成为了一种代表数学的艺术。

2013年，牛津大学将数学系所在的安德鲁·怀尔斯大楼入口改成彭罗斯地砖铺设。

文章开头，彭罗斯所在的地方德州农工大学物理与天文研究所也铺上了类似地砖。此外还有迈阿密大学数学系。

而彭罗斯的影响不仅于此，他设计的“彭罗斯三角”成为了游戏《纪念碑谷》的重要元素。

彭罗斯用他的方式对科学、艺术乃至我们的生活产生了意外的影响。而彭罗斯能在这么多领域取得成就，恐怕与他背后那个令人咋舌的家族是分不开的。

相关阅读：
89岁诺奖得主罗杰·彭罗斯，有一个令人咂舌的家族

参考链接：
https://www.guokr.com/article/69740/
https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling

— 完 —

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