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尺取法 解题报告

PKU 2100 Graveyard Design

链接：PKU 2100 Graveyard Design
题意：给定一个数 n ( n ≤ 1 0 14 ) n( n \le 10^{14}) n(n≤1014)，求所有满足 n = ∑ k = i j k 2 n = \sum_{k=i}^{j} k^2 n=∑k=ij​k2 的 ( i , j ) (i,j) (i,j)。

• 可以把 i , j i,j i,j 看成是 [ 1 , n ] [1, \sqrt n] [1,n ​] 内的数，并且永远满足 i ≤ j i \le j i≤j，维护一个区间平方和 s s s，然后执行如下操作：
• 1）初始化令 s = 0 , i = 1 , j = 0 s=0, i=1,j=0 s=0,i=1,j=0；
• 2）自增 j j j，并且令 s = s + j 2 s = s + j^2 s=s+j2；
• 3）若 s > n s > n s>n，则 s = s − i 2 s = s - i^2 s=s−i2， i i i 自增；重复这一步直到 s < = n s <= n s<=n 满足后跳 3）；
• 4）若 s = n s = n s=n，则当前的 ( i , j ) (i, j) (i,j) 是一组可行解，记录；
• 5）回到 2）；
• 最后输出所有可行解。

PKU 3061 Subsequence

链接：PKU 3061 Subsequence
题意：给定 n ( n < 1 0 5 ) n (n \lt 10^5) n(n<105) 个正数 a i ( a i ≤ 1 0 4 ) a_i ( a_i \le 10^4) ai​(ai​≤104) 和一个正数 p ( p < 1 0 8 ) p(p < 10^8) p(p<108)。找到一个最短的连续子序列，满足它的和 s ≥ p s \ge p s≥p。

• 可以把 i , j i,j i,j 看成是 [ 1 , n ] [1, n] [1,n] 的下标，并且永远满足 i ≤ j i \le j i≤j，维护一个区间和 s s s，然后执行如下操作：
• 1）初始化令 s = 0 , i = 1 , j = 0 s=0, i=1,j=0 s=0,i=1,j=0；
• 2）自增 j j j，并且令 s = s + a j s = s + a_j s=s+aj​；
• 3）若 s ≥ n s \ge n s≥n，更新可行解 ( i , j ) (i, j) (i,j)，则 s = s − a i s = s - a_i s=s−ai​， i i i 自增；重复这一步直到 s < n s < n s<n 满足后跳 2）；
• 最后输出长度最小的可行解。

PKU 2739 Sum of Consecutive Prime Numbers

链接：PKU 2739 Sum of Consecutive Prime Numbers
题意：给定一个数 n ( n ≤ 1 0 4 ) n(n \le 10^4) n(n≤104)，求所有满足 n = ∑ k = i j p k n = \sum_{k=i}^j p_k n=∑k=ij​pk​ 的 ( i , j ) (i,j) (i,j) 的对数（其中 p k p_k pk​ 代表第 k k k 个素数）。

• 可以把 i , j i,j i,j 看成是第几个素数的下标，维护一个素数和 s s s，然后执行如下操作：
• 1）筛选素数 p i p_i pi​ 后，初始化令 s = 0 , i = 1 , j = 0 s=0, i=1,j=0 s=0,i=1,j=0；
• 2）自增 j j j，并且令 s = s + p j s = s + p_j s=s+pj​；
• 3）若 s > n s > n s>n，则 s = s − p i s = s - p_i s=s−pi​， i i i 自增；重复这一步直到 s < = n s <= n s<=n 满足后跳 3）；
• 4）若 s = n s = n s=n，则当前的 ( i , j ) (i, j) (i,j) 是一组可行解，记录计数器 c n t cnt cnt；
• 5）回到 2）；
• 最后输出计数器 c n t cnt cnt 即可。

PKU 3320 Jessica’s Reading Problem

链接：PKU 3320 Jessica’s Reading Problem
题意：给定 n ( 10 < n < 100000 ) n (10 \lt n \lt 100000) n(10<n<100000) 个数 a i ( a < 2 31 ) a_i ( a \lt 2^{31}) ai​(a<231) 。找到一个最短的连续子序列，满足它包含所有的数。

• 首先把所有的数进行离散化，使得每个数都能准确映射到下标 [ 1 , t ] [1,t] [1,t]；
• 然后把 i , j i,j i,j 看成是第 i i i个数的下标，维护一个哈希表，然后执行如下操作：
• 1）初始化令 s = 0 , i = 1 , j = 0 s=0, i=1,j=0 s=0,i=1,j=0；
• 2）自增 j j j，并且自增 h a s h [ a j ] hash[ a_j ] hash[aj​]，如果 h a s h [ a j ] = 1 hash[ a_j ]=1 hash[aj​]=1 则自增 s s s；
• 3）若 s = t s = t s=t，记录 ( i , j ) (i,j) (i,j) 作为其中一个可行解，并且自减 h a s h [ a i ] hash[ a_i ] hash[ai​]， i i i 自增；如果 h a s h [ a i ] = 0 hash[ a_i ]=0 hash[ai​]=0，则自减 s s s，重复这一步直到 s < t s < t s<t 则跳 2）；
• 最后输出长度最小的 ( i , j ) (i,j) (i,j) 即可。

HDU 2158 最短区间版大家来找碴

链接：HDU 2158 最短区间版大家来找碴
PKU 3320 Jessica’s Reading Problem 加强版，做法类似。

HDU 2369 Broken Keyboard

链接：HDU 2369 Broken Keyboard
题意：给定一个长度为 n ( n ≤ 1 0 6 ) n(n \le 10^6) n(n≤106) 的字符串 和 m m m，求不同字符数不超过 m m m 最长子串。

• 可以把 i , j i,j i,j 看成是第几个字符的下标，维护一个哈希表 h a s h hash hash，然后执行如下操作：
• 1）初始化令 s = 0 , i = 1 , j = 0 s=0, i=1,j=0 s=0,i=1,j=0；
• 2）自增 j j j，并且自增 h a s h [ a j ] hash[ a_j ] hash[aj​]，如果 h a s h [ a j ] = 1 hash[ a_j ]=1 hash[aj​]=1 则自增 s s s；
• 3）若 s > n s > n s>n，自减 h a s h [ a i ] hash[ a_i ] hash[ai​]， i i i 自增；如果 h a s h [ a i ] = 0 hash[ a_i ]=0 hash[ai​]=0，则自减 s s s，重复这一步直到 s ≤ n s \le n s≤n；
• 4）若 s ≤ n s \le n s≤n，则当前的 ( i , j ) (i, j) (i,j) 是一组可行解，记录最大值；
• 5）回到 2）；
• 最后输出最大区间的值即可。

HDU 2668 Daydream

链接：HDU 2668 Daydream
题意：给定一个长度为 n ( n ≤ 1 0 7 ) n(n \le 10^7) n(n≤107) 的字符串，求所有字符都不相同的最长子串。

• 可以把 i , j i,j i,j 看成是第几个字符的下标，维护一个哈希表 h a s h hash hash，然后执行如下操作：
• 1）初始化令 i = 0 , j = − 1 i=0,j=-1 i=0,j=−1；
• 2）自增 j j j，并且自增 h a s h [ a j ] hash[ a_j ] hash[aj​]；
• 3）如果 h a s h [ a j ] > 1 hash[ a_j ] \gt 1 hash[aj​]>1 ，则自减 h a s h [ a i ] hash[ a_i ] hash[ai​]， i i i 自增；
• 4）如果 h a s h [ a j ] = 1 hash[ a_j] = 1 hash[aj​]=1，则更新 ( i , j ) (i, j) (i,j) 长度；
• 5）回到 2）；
• 最后输出最大的区间的值即可。

HDU 5672 String

链接：HDU 5672 String
题意：给定一个长度为 n （ 10 ≤ n ≤ 1 0 6 ） n（ 10 \le n \le 10^6） n（10≤n≤106） 字符串 s s s，问有多少子串包含至少 k ( 1 ≤ k ≤ 26 ) k(1 \le k \le 26) k(1≤k≤26) 个不同字符。

• 用两个指针 ( i , j ) (i, j) (i,j) 代表某个阶段下子串指向的下标；
• 对于某个子串，如果已经有 k k k 个不同字符，那么当前的区间 ( i , j ) (i, j) (i,j) 一定是满足条件的子串，并且 ( i , j + 1 ) ， ( i , j + 2 ) ， ( i , l e n − 1 ) (i, j+1)，(i, j+2)，(i, len-1) (i,j+1)，(i,j+2)，(i,len−1) 也都是满足条件的子串，计数器加 l e n − j len - j len−j；
• 然后自增 i i i 继续判断可行性即可。

HDU 5056 Boring count

链接：HDU 5056 Boring count
题意：对于一个字符串，如果它的每个字母数都小于等于 k k k，则称其为 g o o d good good 串。给定一个长度为 s ( 1 ≤ s ≤ 1 0 5 ) s(1 \le s \le 10^5) s(1≤s≤105) 且只包含小写字母的字符串，求它的 g o o d good good 串的数量。

• 用两个指针 ( i , j ) (i, j) (i,j) 代表某个阶段下子串指向的下标；
• 如果某个子串 s [ i : j ] s[i: j] s[i:j] 满足条件，那么可以得出：以 j j j 为右端点的情况下，左端点只要大于等于 i i i，那么这个串一定是 g o o d good good 串，所以以 j j j 为右端点，满足条件的个数为 j − i + 1 j-i+1 j−i+1；
• 所以整个调整过程就是： j j j 自增的过程，如果满足每个字母数都小于等于 k k k 的情况下，累加 j − i + 1 j - i + 1 j−i+1；否则，自增 i i i，继续判断可行性。

HDU 6205 card card card

链接：HDU 6205 card card card
题意：给定一个 n ( n ≤ 1 0 6 ) n( n \le 10^6 ) n(n≤106) 个元素的环形序列，求它的最大子序列。

• 由于是环形的，所以可以先拷贝一份，然后进行双指针 ( i , j ) (i, j) (i,j) 移动，只有当条件满足时左指针才右移，条件为：
• 求和小于零 或者 j − i + 1 > n j-i+1 \gt n j−i+1>n；
• 中途记录最大值即可。

HDU 6103 Kirinriki

链接：HDU 6103 Kirinriki
题意：定义两个长度均为 n ( n ≤ 5000 ) n (n \le 5000) n(n≤5000) 的字符串的距离为： d i s A , B = ∑ i = 0 n − 1 ∣ A i − B n − 1 − i ∣ dis_{A,B} = \sum_{i=0}^{n-1} | A_i - B_{n-1-i}| disA,B​=i=0∑n−1​∣Ai​−Bn−1−i​∣求找出最长的两个子串，满足他们不相交，且距离小于等于 m m m。

• 朴素方法为枚举长度，然后 A A A 串的起点， B B B 串的终点，模拟算一遍得出最优解，算法时间复杂度 O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)。
• 定义两个双指针 ( a l , a r ) (a_l, a_r) (al​,ar​)， ( b l , b r ) (b_l, b_r) (bl​,br​)；
• 1）枚举 k = n − 1 → 0 k = n-1 \to 0 k=n−1→0
• 2）初始化 d = 0 d = 0 d=0， a l = 0 , a r = − 1 a_l=0, a_r=-1 al​=0,ar​=−1 并且向右移动 a r a_r ar​ 指针； b r = k , b l = k + 1 b_r=k, b_l = k+1 br​=k,bl​=k+1 并且向左移动 b l b_l bl​ 指针；
• 3）每次 a r a_r ar​ 指针 右移， b l b_l bl​ 指针左移，如果 b l > a r b_l \gt a_r bl​>ar​ 则 d = d + d i s ( A a r , B b l ) d = d + dis(A_{a_r}, B_{b_l}) d=d+dis(Aar​​,Bbl​​)；否则跳出循环，回到 2）；
• 4）如果 d > m d \gt m d>m， d = d − d i s ( A a l , B b r ) d = d - dis(A_{a_l}, B_{b_r}) d=d−dis(Aal​​,Bbr​​)，并且 a l a_l al​ 右移， b r b_r br​ 指针左移；
• 5）如果 d ≤ m d \le m d≤m，则更新当前 m a x l e n = m a x ( m a x l e n , a r − a l + 1 ) maxlen = max(maxlen, a_r - a_l + 1) maxlen=max(maxlen,ar​−al​+1) 为最优长度。
• 然后把字符串反序，再做一次如上操作。
• 最后，输出 m a x l e n maxlen maxlen 即可。

HDU 6119 小小粉丝度度熊

链接：HDU 6119 小小粉丝度度熊
题意：给定 n ( n ≤ 1 0 5 ) n(n \le 10^5) n(n≤105) 个区间，区间之间可能重叠，现在给出 m m m 个数，希望把区间补成连续区间，问最多能够补成多大的连续区间。

• 首先，先按照区间左端点排序，然后利用贪心将所有区间转换成不相交区间；
• 然后计算相邻两个不相交区间之间需要补多少数，可以利用前缀和，用 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间求出 [ i , j ] [i, j] [i,j] 区间之间要补多少数才能连续，然后利用双指针进行求和单调性求解即可。

HDU 1937 Finding Seats

链接：HDU 1937 Finding Seats
题意：给定一个 n × m ( n , m ≤ 300 ) n \times m (n,m \le 300) n×m(n,m≤300) 的 01 矩阵和一个数，求一个面积最小的子矩阵，保证它和大于等于 k k k 。

• 首先用 s u m i j sum_{ij} sumij​ 计算出矩阵的前缀和。
• 枚举 l ， r l，r l，r 作为子矩阵的左右端点，然后对上下端点采用双指针，从而转化成一维的求和单调性问题。

HDU 5178 pairs

链接：HDU 5178 pairs
题意：在 x x x 轴上有 n n n 个点 ( x i , 0 ) ( i = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 ) (x_i,0)(i=0,1,2,…,n−1) (xi​,0)(i=0,1,2,…,n−1)，求有多少整数对 ( a , b ) (a,b) (a,b) 满足 ∣ x b − x a ∣ ≤ k ( a < b ) |x_b−x_a| \le k (a \lt b) ∣xb​−xa​∣≤k(a<b)。

• 首先对所有数按照 x x x 轴递增排序；
• 然后用两个指针 ( i , j ) (i, j) (i,j) 代表下标，并且不断自增 j j j 下标；
• 当 x j − x i > k x_j - x_i \gt k xj​−xi​>k 时，自增 i i i 下标；否则以 j j j 结尾的满足条件的区间个数就是 j − i j-i j−i，直接累加；

PKU 2566 Bound Found

链接：PKU 2566 Bound Found
题意：给定一个 n ( n ≤ 100000 ) n ( n \le 100000 ) n(n≤100000) 和 k k k，然后是 n n n 个数字 x i ( ∣ x i ∣ ≤ 10000 ) x_i ( | x_i | \le 10000) xi​(∣xi​∣≤10000) 组成的序列，再给出 k k k 个数 t l t_l tl​，要求对于每个 t l t_l tl​，求出绝对值最接近 t l t_l tl​ 的区间。

• 尺取法的前提是满足单调性， x i x_i xi​ 有可能是负数，所以这题需要进行一个思路转换。
• 首先记录下前缀和 s u m i sum_i sumi​，注意，需要将 s u m 0 = 0 sum_0 = 0 sum0​=0 也加入进来。
• 问题就转变成了求满足条件 ∣ s u m j − s u m i ∣ < t l | sum_j - sum_i | < t_l ∣sumj​−sumi​∣<tl​ 的最大的 ∣ s u m j − s u m i ∣ | sum_j - sum_i | ∣sumj​−sumi​∣，这时候需要满足的是 i < j i \lt j i<j，如果能够做到 s u m i < s u m j sum_i < sum_j sumi​<sumj​ 恒成立，那么我们就可以采用尺取法了。
• 所以可以对前缀和进行排序，注意排序的时候需要记录下原下标。
• 然后就是对排序后的数组 s u m i sum_i sumi​ 进行尺取法了。

HDU 5806 NanoApe Loves Sequence Ⅱ

链接：HDU 5806 NanoApe Loves Sequence Ⅱ
题意：给定 n ( n ≤ 200000 ) n ( n \le 200000) n(n≤200000) 个数，求第 k k k 大的数 ≥ m \ge m ≥m 的区间的个数。

• 将原数组中 ≥ m \ge m ≥m 的数变成 1，其它为 0，然后求出前缀和 s u m i sum_i sumi​。
• 利用尺取法维护两个指针 ( i , j ) (i, j) (i,j)，如果某种情况下 s u m j − s u m i ≥ k sum_{j} - sum_{i} \ge k sumj​−sumi​≥k，则所有区间 [ i + 1 , k ] ( j ≥ k ≥ n ) [i+1, k] (j \ge k \ge n) [i+1,k](j≥k≥n) 都满足上文所给的条件。所有以 i + 1 i+1 i+1 为左端点的满足条件区间数就是 n − j + 1 n-j+1 n−j+1 个；累加到答案。
• 并且 s u m j − s u m i ≥ k sum_{j} - sum_{i} \ge k sumj​−sumi​≥k 时，左指针 i i i 自增。

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