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1 基本概念

  定义：含导数或微分的方程是微分方程 (Differential equation\text{Differential equation}Differential equation).

  一般形式：f(x,y,y′,...,y(n))=0f(x,y,y',...,y^{(n)})=0f(x,y,y′,...,y(n))=0

  微分方程的阶数：微分方程中所含导数或微分的最高阶数. 如下面的微分方程为二阶微分方程：
y′′−3y′+2y=0y''-3y'+2y=0y′′−3y′+2y=0

  常微分方程 (Ordinary differential equations\text{Ordinary differential equations}Ordinary differential equations)：未知函数是一元函数的微分方程.

  偏微分方程：未知函数是多元函数(含偏导数)的微分方程.

  微分方程的解：
    (1) 解：使微分方程成立的解. 微分方程的解是一个函数.
    (2) 通解：微分方程中的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称此解为微分方程的通解.

  比如二阶微分方程的通解中，有且仅有两个相互独立的常数C1\,C_1C1​、C2C_2C2​. 相互独立的常数之间不可合并.

  通解不等于全部解！
    根据通解的定义，只要求得的解中含有独立常数的个数与阶数相同，就是通解. 但并不代表通解中包含了全部的解. 通解中有可能丢掉零个到无穷多个解，通解中不包含的解，被称为奇解.
    这就是为什么看有的题目答案会不考虑分母为零的情况.

    (3) 特解：不含任意常数的解 (确定了任意常数后的解).
      y1=exy_1=e^xy1​=ex、y2=e2xy_2=e^{2x}\,y2​=e2x是y′′−3y′+2y=0\,y''-3y'+2y=0\,y′′−3y′+2y=0的特解.
      y3=C1ex+C2e2xy_3=C_1e^x+C_2e^{2x}\,y3​=C1​ex+C2​e2x是y′′−3y′+2y=0\,y''-3y'+2y=0\,y′′−3y′+2y=0的通解.

   初值条件 / 初始条件：求一个微分方程某个特解所满足的条件：y(x0)=a0y(x_0)=a_0y(x0​)=a0​，y′′′(x0)=a1y'''(x_0)=a_1y′′′(x0​)=a1​，y′′(x0)=a2y''(x_0)=a_2y′′(x0​)=a2​，…

   初值问题：
      (1) 求微分方程y′=f(x,y)\,y'=f(x,y)\,y′=f(x,y)满足初值条件y∣x=x0=y0\,y|_{x=x_0}=y_0\,y∣x=x0​​=y0​的特解的问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作：
{y′=f(x,y)y∣x=x0=y0\begin{cases}y'=f(x,y)\\y|_{x=x_0}=y_0\end{cases}{y′=f(x,y)y∣x=x0​​=y0​​
      (2) 二阶微分方程的初值问题记作：
{y′′=f(x,y,y′)y∣x=x0=y0,y′∣x=x0=y0′\begin{cases}y''=f(x,y,y')\\y|_{x=x_0}=y_0,\,y'|_{x=x_0}=y'_0\end{cases}{y′′=f(x,y,y′)y∣x=x0​​=y0​,y′∣x=x0​​=y0′​​

   微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形.

2 一阶微分方程

(一) 可分离变量的微分方程

  特征：
dydx=φ1(x)φ2(y)\color{Purple}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\varphi_1(x)\varphi_2(y)dxdy​=φ1​(x)φ2​(y)

  解法：
    step 1: 分离变量；
    step 2: 两边积分.
dydx=f(x,y)⇒dyφ2(y)=φ1(x)dx⇒∫dyφ2(y)=∫φ1(x)dx+C\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x,y)\Rightarrow\frac{\text{d}y}{\varphi_2(y)}=\varphi_1(x)\text{d}x\Rightarrow\int\frac{\text{d}y}{\varphi_2(y)}=\int\varphi_1(x)\text{d}x+Cdxdy​=f(x,y)⇒φ2​(y)dy​=φ1​(x)dx⇒∫φ2​(y)dy​=∫φ1​(x)dx+C

  注意：在分离变量的过程中，要注意分母不能为零. 在移项过程中，可能需要分类讨论.

(二) 齐次微分方程

  特征：
dydx=φ(yx)\color{Purple}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\varphi(\frac{y}{x})dxdy​=φ(xy​)

    或
dxdy=φ(xy)\color{Purple}\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\varphi(\frac{x}{y})dydx​=φ(yx​)

  解法：
    step 1:
令：u=yx，则dydx=u+xdudx令：{\color{Blue}u=\frac{y}{x}}，则\,{\color{Blue}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}}令：u=xy​，则dxdy​=u+xdxdu​

      代入原方程得到：
u+xdudx=φ(u)u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\varphi(u)u+xdxdu​=φ(u)

    step 2: 两边积分.
∫duφ(u)−u=∫dxx+C\int\frac{\text{d}u}{\varphi(u)-u}=\int\frac{\text{d}x}{x}+C∫φ(u)−udu​=∫xdx​+C

(三) 一阶齐次线性微分方程

  特征：
y′+P(x)y=0\color{Purple}y'+P(x)y=0y′+P(x)y=0

  通解公式：
y=Ce−∫P(x)dx\color{Blue} y=Ce^{-\int P(x)\text{d}x}y=Ce−∫P(x)dx

  注意：
    (1) ∫P(x)dx{\int P(x)}\text{d}x\,∫P(x)dx并不表示P(x)\,P(x)\,P(x)的所有原函数，而表示一个确定的原函数. 实际上是∫x0xP(x)dx\,{\int^x_{x_0} P(x)}\text{d}x\,∫x0​x​P(x)dx的简写，常数x0\,x_0\,x0​可任取.
    (2) 高阶齐次微分方程可使用该公式进行降阶，如：
y′′+x+2x+1y′=0⇒y′=Ce−∫x+2x+1dxy''+\frac{x+2}{x+1}\,y'=0\Rightarrow y'=Ce^{-\int\frac{x+2}{x+1}\text{d}x}y′′+x+1x+2​y′=0⇒y′=Ce−∫x+1x+2​dx

    (3) 偏微分方程可使用该公式求解，如：
∂f(0,y)∂y−coty⋅f(0,y)=0⇒f(0,y)=Ce∫cotydy=Csiny\frac{\partial f(0,y)}{\partial y}-\text{cot}y\cdot f(0,y)=0\Rightarrow f(0,y)=Ce^{\int\text{cot}y\text{d}y}=C\text{sin}y∂y∂f(0,y)​−coty⋅f(0,y)=0⇒f(0,y)=Ce∫cotydy=Csiny

(四) 一阶非齐次线性微分方程

  特征：
y′+P(x)y=Q(x)\color{Purple}y'+P(x)y=Q(x)y′+P(x)y=Q(x)

  通解公式：
y=[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]e−∫P(x)dx{\color{Blue} y=}\bigg[{\color{Blue} \int Q(x){\color{Green}e^{\int P(x)\text{d}x}}\text{d}x+C}\bigg]\color{Blue}\color{Green}e^{-\int P(x)\text{d}x}y=[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]e−∫P(x)dx

  通解公式怎么来的？
    观察方程形式，我们尝试用求导公式(uv)′=u′v+uv′\,(uv)'=u'v+uv'\,(uv)′=u′v+uv′找出原函数.
    按照求导公式的形式，原方程可以写成：
Q(x)=y′⋅1+y⋅P(x)Q(x)=y'\cdot 1+y\cdot P(x)Q(x)=y′⋅1+y⋅P(x)

    但是若把1\,1\,1直接看成求导公式中的v\,vv，那么v′=0\,v'=0v′=0，显然v′=P(x)\,v'=P(x)\,v′=P(x)不成立.
    这说明v\,v\,v和v′\,v'\,v′应当有公因子在Q(x)\,Q(x)\,Q(x)中，1\,1\,1和P(x)\,P(x)\,P(x)是剩下的部分.
    换言之，若v=Δ\,v=\Deltav=Δ，则v′=Δ⋅P(x)\,v'=\Delta\cdot P(x)v′=Δ⋅P(x).
    于是思考什么函数求导以后会额外出现P(x)\,P(x)P(x).
    显然，这个函数应当是v=e∫P(x)dx\,v=e^{\int P(x)\text{d}x}v=e∫P(x)dx.
    于是：
y′e∫P(x)dx+ye∫P(x)dxP(x)=Q(x)e∫P(x)dxy'e^{\int P(x)\text{d}x}+ye^{\int P(x)\text{d}x}P(x)=Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}y′e∫P(x)dx+ye∫P(x)dxP(x)=Q(x)e∫P(x)dx

    由求导公式得：
Q(x)e∫P(x)dx=(ye∫P(x)dx)′Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}=(ye^{\int P(x)\text{d}x})'Q(x)e∫P(x)dx=(ye∫P(x)dx)′

⇒y=[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]⋅e−∫P(x)dx\Rightarrow y =\bigg[\int Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C\bigg]\cdot e^{-\int P(x)\text{d}x}⇒y=[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]⋅e−∫P(x)dx

  注意：
    (1) e∫P(x)dxe^{\int P(x)\text{d}x}\,e∫P(x)dx与e−∫P(x)dx\,e^{-\int P(x)\text{d}x}\,e−∫P(x)dx互为倒数，计算一个即可得到另一个，不要重复计算.
    (2) 一阶线性微分方程通解公式中，若∫P(x)dx=ln∣φ(x)∣\,\int P(x)\text{d}x=\text{ln}|\varphi(x)|∫P(x)dx=ln∣φ(x)∣，则φ(x)\,\varphi(x)\,φ(x)不加绝对值，其计算结果也是正确的.
    (3) ∫Q(x)...dx\int Q(x)...\text{d}x\,∫Q(x)...dx、∫P(x)dx{\int P(x)}\text{d}x\,∫P(x)dx并不表示所有原函数，而表示一个确定的原函数. 实际上是∫x0xQ(x)...dx\,{\int^x_{x_0} Q(x)...}\text{d}x∫x0​x​Q(x)...dx、∫x0xP(x)dx\,{\int^x_{x_0} P(x)}\text{d}x\,∫x0​x​P(x)dx的简写，常数x0\,x_0\,x0​可任取.

    (4) 如果一个一阶非齐次线性微分方程中含有另一个抽象函数f(x)\,f(x)f(x)，如：
y′+ay=f(x)y'+ay=f(x)y′+ay=f(x)

      则该方程的解中一定要将不定积分改为变积分限函数：
y=[∫0xf(x)eatdt+C]e−axy=\bigg[\int^x_0f(x)e^{at}\text{d}t+C\bigg]e^{-ax}y=[∫0x​f(x)eatdt+C]e−ax

(五) 伯努利方程

  特征：
y′+P(x)y=Q(x)yn(n≠0,1)\color{Purple}y'+P(x)y=Q(x)y^n\;\;(n\neq 0,1)y′+P(x)y=Q(x)yn(n​=0,1)

  解法：
    令z=y1−n\,{\color{Blue}z=y^{1-n}}z=y1−n，得
dzdx=(1−n)y−ndydx\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}dxdz​=(1−n)y−ndxdy​

    代入原方程得到：
dzdx+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)\frac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)dxdz​+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)

    然后使用公式求解这个一阶非齐次线性微分方程即可.

  注意：
    若n=0\,n=0n=0，就是一般的一阶非齐次线性微分方程.
    若n=1\,n=1n=1，则为可分离变量的微分方程.

(六) 全微分方程

  定义：设P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\,P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0\,P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0满足∂Q∂x=∂P∂y\color{Purple}\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}∂x∂Q​=∂y∂P​

    则称P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\,\color{Purple}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0\,P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0为全微分方程.

  通解：
u(x,y)=C\color{Blue} u(x,y)=Cu(x,y)=C

    其中：
du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\text{d}u=P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}ydu=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

u(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dyu(x,y)=\int^{(x,y)}_{(x_0,y_0)}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}yu(x,y)=∫(x0​,y0​)(x,y)​P(x,y)dx+Q(x,y)dy

  解法：
    step 1: 计算P\,PP、QQQ，确定满足全微分方程条件
    step 2: 使用公式计算u(x,y)\,u(x,y)u(x,y)，也可以使用凑微法.

(七) 其他类型一阶微分方程

(1) 可化为可分离变量的微分方程

dydx=f(ax+by+c){\color{Purple}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(ax+by+c)}dxdy​=f(ax+by+c)

  令u=ax+by+c\,u=ax+by+cu=ax+by+c，则
dudx=a+bdydx\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=a+b\frac{\text{d}y}{\text{d}x}dxdu​=a+bdxdy​

  代入原方程得：
dudx=a+bf(u)\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=a+bf(u)dxdu​=a+bf(u)

  该方程是一个可分离变量的方程.

(2) 可化为齐次的微分方程

dydx=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2){\color{Purple}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f}\bigg({\color{Purple}\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}}\bigg)dxdy​=f(a2​x+b2​y+c2​a1​x+b1​y+c1​​)

  若c1=c2=0\,c_1=c_2=0c1​=c2​=0，方程是齐次方程，直接求解即可：
dydx=f(a1+b1yxa2+b2yx)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\bigg(\frac{a_1+b_1\frac{y}{x}}{a_2+b_2\frac{y}{x}}\bigg)dxdy​=f(a2​+b2​xy​a1​+b1​xy​​)

  若不满足c1=c2=0\,c_1=c_2=0c1​=c2​=0，则都是非齐次方程. 下面是两种非齐次情形的解法：

    情形一：若∣a1b1a2b2∣=0\,\begin{vmatrix} a_1&b_1 \\ a_2&b_2 \end{vmatrix}=0∣∣∣∣​a1​a2​​b1​b2​​∣∣∣∣​=0，即a1a2=b1b2=λ\,\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\lambdaa2​a1​​=b2​b1​​=λ.

        则方程可以写为：

dydx=f[λ(a2x+b2y)+c1(a2x+b2y)+c2]\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\bigg[\frac{\lambda(a_2x+b_2y)+c_1}{(a_2x+b_2y)+c_2}\bigg]dxdy​=f[(a2​x+b2​y)+c2​λ(a2​x+b2​y)+c1​​]

        令a2x+b2y=u\,a_2x+b_2y=u\,a2​x+b2​y=u，则原方程可化为可分离变量的方程：
dudx=a2+b2f(λu+c1u+c2)\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=a_2+b_2f\bigg(\frac{\lambda u+c_1}{u+c_2}\bigg)dxdu​=a2​+b2​f(u+c2​λu+c1​​)

    情形二：若∣a1b1a2b2∣≠0\,\begin{vmatrix} a_1&b_1 \\ a_2&b_2 \end{vmatrix}\neq0∣∣∣∣​a1​a2​​b1​b2​​∣∣∣∣​​=0，即a1a2≠b1b2\,\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}a2​a1​​​=b2​b1​​.

      令：x=X+h，y=Y+k\color{Purple}x=X+h，y=Y+kx=X+h，y=Y+k，其中h\,hh、kk\,k是待定的常数.
      于是有dx=dX\,\text{d}x=\text{d}Xdx=dX，dy=dY\text{d}y=\text{d}Ydy=dY，

dYdX=f(a1X+b1Y+a1h+b1k+c1a2X+b2Y+a2h+b2k+c2)\frac{\text{d}Y}{\text{d}X}=f\bigg(\frac{a_1X+b_1Y+a_1h+b_1k+c_1}{a_2X+b_2Y+a_2h+b_2k+c_2}\bigg)dXdY​=f(a2​X+b2​Y+a2​h+b2​k+c2​a1​X+b1​Y+a1​h+b1​k+c1​​)

      由{a1h+b1k+c1=0a2h+b2k+c2=0\,\begin{cases}a_1h+b_1k+c_1=0\\a_2h+b_2k+c_2=0\end{cases}{a1​h+b1​k+c1​=0a2​h+b2​k+c2​=0​，得{h=h0k=k0\,\begin{cases}h=h_0\\k=k_0\end{cases}\,{h=h0​k=k0​​.

      于是就能定出：x=X+h0，y=Y+k0\color{Purple}x=X+h_0，y=Y+k_0x=X+h0​，y=Y+k0​，其中h\,hh、kk\,k是经过上面的方程组已经确定的常数.

      原方程就可化为齐次方程：
dYdX=f(a1X+b1Ya2X+b2Y)\frac{\text{d}Y}{\text{d}X}=f\bigg(\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}\bigg)dXdY​=f(a2​X+b2​Ya1​X+b1​Y​)

3 可降阶的高阶微分方程

(一) y(n)=f(x)\,y^{(n)}=f(x)y(n)=f(x)

  解法： 进行n\,n\,n次不定积分即可求解.

(二) 缺y\,y\,y型：f(x,y′,y′′)=0\,f(x,\,y',\,y'')=0\,f(x,y′,y′′)=0

  解法：
    step 1:
令：y′=p，则y′′=dpdx，f(x,p,dpdx)令：{\color{Blue}y'=p}，则\,{\color{Blue}y''=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}}，\color{Blue}f(x,\,p,\,\frac{\text{d}p}{\text{d}x})令：y′=p，则y′′=dxdp​，f(x,p,dxdp​)

    step 2: 解出p=φ(x,C1)\,p=\varphi(x,C_1)\,p=φ(x,C1​)，则原方程通解为y=∫φ(x,C1)dx+C2\,y=\int\varphi(x,C_1)\text{d}x+C_2y=∫φ(x,C1​)dx+C2​.

  注意：如果方程没有出现y′\,y'y′，最低阶为y(s)\,y^{(s)}\,y(s)且还有更高阶，则应设y(s)=p\,y^{(s)}=p\,y(s)=p.

(三) 缺x\,x\,x型：f(y,y′,y′′)=0\,f(y,\,y',\,y'')=0\,f(y,y′,y′′)=0

    step 1:
令：y′=p，则y′′=dpdx=pdpdy，f(x,p,pdpdy)令：{\color{Blue}y'=p}，则\,{\color{Blue}y''=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}}，\color{Blue}f(x,\,p,\,p\frac{\text{d}p}{\text{d}y})令：y′=p，则y′′=dxdp​=pdydp​，f(x,p,pdydp​)

    step 2: 解出p=φ(y,C1)\,p=\varphi(y,C_1)\,p=φ(y,C1​)，则∫dyφ(y,C1)=x+C2\,\int\frac{\text{d}y}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2∫φ(y,C1​)dy​=x+C2​.

  注意：
    (1) 可降阶的微分方程除了规范解法以外，也可以使用一些技巧求解 (比如凑微法、使用一阶线性微分方程降阶等).
    (2) 如果是求特解，初值条件越早代入通常越方便计算. 在得到p\,p\,p与x\,x\,x的方程时就可以代入初值条件，求出常数部分.

4 高阶微分方程

(一) 定义

  (1) nn\,n阶齐次线性微分方程：
y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y′+an(x)y=0(∗)\color{Purple}y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0\;\;\;\color{Red}{(*)}y(n)+a1​(x)y(n−1)+...+an−1​(x)y′+an​(x)y=0(∗)

  (2) nn\,n阶非齐次线性微分方程：
y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y′+an(x)y=f(x)(∗∗)\color{Purple}y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)\;\;\;\color{Red}{(**)}y(n)+a1​(x)y(n−1)+...+an−1​(x)y′+an​(x)y=f(x)(∗∗)

  (3) nn\,n阶非齐次线性微分方程分解：
    若f(x)=f1(x)+f2(x)\,f(x)=f_1(x)+f_2(x)f(x)=f1​(x)+f2​(x)，则方程可分解为：
y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y′+an(x)y=f1(x)(∗∗)′y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f_1(x)\;\;\;\color{Red}{(**)}'y(n)+a1​(x)y(n−1)+...+an−1​(x)y′+an​(x)y=f1​(x)(∗∗)′

y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y′+an(x)y=f2(x)(∗∗)′′y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f_2(x)\;\;\;\color{Red}{(**)}''y(n)+a1​(x)y(n−1)+...+an−1​(x)y′+an​(x)y=f2​(x)(∗∗)′′

(二) 解的结构

  (1) 若φ1(x),...,φs(x)\,\varphi_1(x),...,\varphi_s(x)\,φ1​(x),...,φs​(x)为(∗)\,\color{Red}{(*)}\,(∗)的解，则k1φ1(x)+...+ksφs(x)\,k_1\varphi_1(x)+...+k_s\varphi_s(x)\,k1​φ1​(x)+...+ks​φs​(x) (线性组合) 为(∗)\,\color{Red}{(*)}\,(∗)的解.

  (2) 若φ1(x),...,φs(x)\,\varphi_1(x),...,\varphi_s(x)\,φ1​(x),...,φs​(x)为(∗∗)\,\color{Red}{(**)}\,(∗∗)的解，则：
k1+...+ks=0⇔k1φ1(x)+...+ksφs(x)为(∗)的解k_1+...+k_s=0\Leftrightarrow k_1\varphi_1(x)+...+k_s\varphi_s(x)为{\,\color{Red}(*)\,}的解k1​+...+ks​=0⇔k1​φ1​(x)+...+ks​φs​(x)为(∗)的解

k1+...+ks=1⇔k1φ1(x)+...+ksφs(x)为(∗∗)的解k_1+...+k_s=1\Leftrightarrow k_1\varphi_1(x)+...+k_s\varphi_s(x)为{\,\color{Red}(**)\,}的解k1​+...+ks​=1⇔k1​φ1​(x)+...+ks​φs​(x)为(∗∗)的解

    (例. y1y_1y1​、y2y_2\,y2​为(∗∗)\,{\color{Red}(**)}\,(∗∗)的解，y1+y22\frac{y_1+y_2}{2}\,2y1​+y2​​也为(∗∗)\,{\color{Red}(**)}\,(∗∗)的解.)

  (3) 若φ1(x)\,\varphi_1(x)φ1​(x)、φ2(x)\varphi_2(x)\,φ2​(x)分别为(∗)\,\color{Red}{(*)}\,(∗)和(∗∗)\,\color{Red}{(**)}\,(∗∗)的解，则
φ1(x)+φ2(x)为(∗∗)的解\varphi_1(x)+\varphi_2(x)为\,{\color{Red}(**)}\,的解φ1​(x)+φ2​(x)为(∗∗)的解

  (4) 若φ1(x)\,\varphi_1(x)φ1​(x)、φ2(x)\varphi_2(x)\,φ2​(x)都为(∗∗)\,\color{Red}{(**)}\,(∗∗)的解，则
φ1(x)−φ2(x)为(∗)的解\varphi_1(x)-\varphi_2(x)为\,{\color{Red}(*)}\,的解φ1​(x)−φ2​(x)为(∗)的解

  (5) 若φ1(x)\,\varphi_1(x)φ1​(x)、φ2(x)\varphi_2(x)\,φ2​(x)分别为(∗∗)′\,\color{Red}{(**)}'\,(∗∗)′和(∗∗)′′\,\color{Red}{(**)}''\,(∗∗)′′的解，则
φ1(x)+φ2(x)为(∗∗)的解\varphi_1(x)+\varphi_2(x)为\,{\color{Red}{(**)}}\,的解φ1​(x)+φ2​(x)为(∗∗)的解

  (6) 设φ1(x),...,φn(x)\,\varphi_1(x),...,\varphi_n(x)\,φ1​(x),...,φn​(x)为(∗)\,\color{Red}{(*)}\,(∗)的n\,n\,n个线性无关解，则(∗)\,\color{Red}{(*)}\,(∗)的通解为
k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x)(k1,k2,...,kn为任意常数)k_1\varphi_1(x)+k_2\varphi_2(x)+...+k_n\varphi_n(x)\;\;\;(k_1,k_2,...,k_n为任意常数)k1​φ1​(x)+k2​φ2​(x)+...+kn​φn​(x)(k1​,k2​,...,kn​为任意常数)

  (7) 设φ1(x),...,φn(x)\,\varphi_1(x),...,\varphi_n(x)\,φ1​(x),...,φn​(x)为(∗)\,\color{Red}{(*)}\,(∗)的n\,n\,n个线性无关解，φ0(x)\varphi_0(x)\,φ0​(x)为(∗∗)\,\color{Red}{(**)}\,(∗∗)的一个特解，则(∗∗)\,\color{Red}{(**)}\,(∗∗)的通解为
k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x)+φ0(x)(k1,k2,...,kn为任意常数)k_1\varphi_1(x)+k_2\varphi_2(x)+...+k_n\varphi_n(x)+\varphi_0(x)\;\;\;(k_1,k_2,...,k_n为任意常数)k1​φ1​(x)+k2​φ2​(x)+...+kn​φn​(x)+φ0​(x)(k1​,k2​,...,kn​为任意常数)

(三) 高阶常系数线性微分方程

(1) 高阶常系数齐次线性微分方程

二阶

  形式：
y′′+py′+qy=0(p,q为常数)\color{Purple}y''+py'+qy=0\;\;\;(p,\,q\,为常数)y′′+py′+qy=0(p,q为常数)

  解法：
    step 1. 列特征方程
λ2+pλ+q=0\lambda^2+p\lambda+q=0λ2+pλ+q=0

    step 2. 判断特征方程的Δ\,\DeltaΔ，确定通解公式
      (1) Δ>0\,\Delta>0Δ>0，则λ1≠λ2\,\lambda_1\neq\lambda_2λ1​​=λ2​，

       通解公式为：
y=C1eλ1x+C2eλ2x\color{Blue}y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2x}y=C1​eλ1​x+C2​eλ2​x

      (2) Δ=0\,\Delta=0Δ=0，则λ1=λ2\,\lambda_1=\lambda_2λ1​=λ2​，
       通解公式为：
y=(C1+C2x)eλ1x\color{Blue}y=(C_1+C_2x)\,e^{\lambda_1x}y=(C1​+C2​x)eλ1​x

      (3) Δ<0\,\Delta<0Δ<0，则有两个共轭虚根λ1,2=α±βi\,\lambda_{1,2}=\alpha\pm \beta iλ1,2​=α±βi，
       通解公式为：
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)\color{Blue}y=e^{\alpha x}\,(C_1\text{cos}\beta x+C_2\text{sin}\beta x)y=eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)

特征方程的根	微分方程通解中的对应项
两个不等实根λ1\,\lambda_1λ1​、λ2\lambda_2λ2​	C1eλ1x+C2eλ2xC_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}C1​eλ1​x+C2​eλ2​x
两个相等实根λ1=λ2\,\lambda_1=\lambda_2\,λ1​=λ2​	(C1+C2x)eλ1x(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}(C1​+C2​x)eλ1​x
一对共轭复根λ1,2=α±βi\,\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\,λ1,2​=α±βi	eαx(C1cosβx+C2sinβx)e^{\alpha x}(C_1\text{cos}\beta x+C_2\text{sin}\beta x)eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)

三阶

  形式：
y′′′+py′′+qy′+ry=0\color{Purple}y'''+py''+qy'+ry=0y′′′+py′′+qy′+ry=0

  特征方程：
λ3+pλ2+qλ+r=0\lambda^3+p\lambda^2+q\lambda+r=0λ3+pλ2+qλ+r=0

  通解：

    (1) 若λ1\,\lambda_1λ1​，λ2\lambda_2λ2​，λ3\lambda_3\,λ3​为实单根 (两两不等)，则通解为：
y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x\color{Purple}y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+C_3e^{\lambda_3x}y=C1​eλ1​x+C2​eλ2​x+C3​eλ3​x

    (2) 若λ1=λ2≠λ3\,\lambda_1=\lambda_2\neq\lambda_3\,λ1​=λ2​​=λ3​为实根，则通解为：
y=(C1+C2x)eλ1x+C3eλ3x\color{Purple}y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}+C_3e^{\lambda_3x}y=(C1​+C2​x)eλ1​x+C3​eλ3​x

    (3) 若λ1=λ2=λ3\,\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3\,λ1​=λ2​=λ3​为实根，则通解为：
y=(C1+C2x+C3x2)eλ1x\color{Purple}y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{\lambda_1x}y=(C1​+C2​x+C3​x2)eλ1​x

    (4) 若λ1,2=α±iβ，λ3∈R\,\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta，\lambda_3\in \mathbf{R}λ1,2​=α±iβ，λ3​∈R，通解为：
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)+C3eλ3x\color{Purple}y=e^{\alpha x}(C_1\text{cos}\beta x+C_2\text{sin}\beta x)+C_3e^{\lambda_3 x}y=eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)+C3​eλ3​x

n\,n\,n阶

  形式：
y(n)+a1y(n−1)+...+an−1y′+any=0\color{Purple}y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=0y(n)+a1​y(n−1)+...+an−1​y′+an​y=0

  特征方程：
λn+a1λ(n−1)+...+an−1λ+an=0\lambda^n+a_1\lambda^{(n-1)}+...+a_{n-1}\lambda+a_n=0λn+a1​λ(n−1)+...+an−1​λ+an​=0

  通解：

特征方程的根	微分方程通解中的对应项 yiy_iyi​
单实根λ\,\lambdaλ	CeλxCe^{\lambda x}Ceλx
kk\,k重实根λ\,\lambda\,λ	eλx(C1+C2x+...+Ckxk−1)e^{\lambda x}(C_1+C_2x+...+C_kx^{k-1})eλx(C1​+C2​x+...+Ck​xk−1)
一对单复根λ1,2=α±βi\,\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\,λ1,2​=α±βi	eαx(C1cosβx+C2sinβx)e^{\alpha x}(C_1\text{cos}\beta x+C_2\text{sin}\beta x)eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)
一对k\,k\,k重复根λ1,2=α±βi\,\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\,λ1,2​=α±βi	eαx[(C1+C2x+...+Ckxk−1)cosβx+(D1+D2x+...+Dkxk−1)sinβx]e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+...+C_kx^{k-1})\text{cos}\beta x+(D_1+D_2x+...+D_kx^{k-1})\text{sin}\beta x]eαx[(C1​+C2​x+...+Ck​xk−1)cosβx+(D1​+D2​x+...+Dk​xk−1)sinβx]

  每一个通解对应项为yi\,y_i\,yi​，则n\,n\,n阶常系数齐次线性微分方程的通解表示为：
y=y1+y2+...+yny=y_1+y_2+...+y_ny=y1​+y2​+...+yn​

(2) 高阶常系数非齐次线性微分方程

  下面只给出二阶常系数非齐次线性微分方程的解法：

  特征：
y′′+py′+qy=f(x)(p,q为常数)\color{Purple}y''+py'+qy=f(x)\;\;\;(p,\,q\,为常数)y′′+py′+qy=f(x)(p,q为常数)

(∗∗)的通解=(∗)的通解+(∗∗)的特解\color{Purple}(**)\,的通解 =(*)\,的通解+(**)\,的特解(∗∗)的通解=(∗)的通解+(∗∗)的特解

型1：f(x)=Pn(x)ekxf(x)=P_n(x)e^{kx}f(x)=Pn​(x)ekx

  解法：
    step 1. 求出(∗)\color{Red}\,(*)\,(∗)的通解y\,\color{Green}yy.

    step 2. 按照f(x)\,f(x)\,f(x)的形式假设(∗∗)\,\color{Red}(**)\,(∗∗)的特解y0=x?Qn(x)ekx\,y_0=x^?Q_n(x)e^{kx}y0​=x?Qn​(x)ekx. 其中Qn(x)\,Q_n(x)\,Qn​(x)是对照Pn(x)\,P_n(x)\,Pn​(x)确定的n\,n\,n次一般多项式.

      情形一：若k\,k\,k不等于任一特征值，令
y0=Qn(x)ekx=(a0+a1x+...+anxn)ekx\color{Blue}y_0=Q_n(x)e^{kx}=(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}y0​=Qn​(x)ekx=(a0​+a1​x+...+an​xn)ekx

        如：f(x)=(x2+2x)exf(x)=(x^2+2x)e^xf(x)=(x2+2x)ex，则假设y0=(ax2+bx+c)ex\,y_0=(ax^2+bx+c)e^xy0​=(ax2+bx+c)ex.

      情形二：若k\,k\,k与一个特征值相同，令
y0=x⋅Qn(x)ekx=x⋅(a0+a1x+...+anxn)ekx\color{Blue}y_0=x\cdot Q_n(x)e^{kx}=x\cdot(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}y0​=x⋅Qn​(x)ekx=x⋅(a0​+a1​x+...+an​xn)ekx

        如：f(x)=(x+1)e2xf(x)=(x+1)e^{2x}f(x)=(x+1)e2x，则假设y0=x(ax+b)e2x\,y_0=x\,(ax+b)e^{2x}y0​=x(ax+b)e2x.

      情形三：若k\,k\,k与两个特征值都相同，令
y0=x2⋅Qn(x)ekx=x2⋅(a0+a1x+...+anxn)ekx\color{Blue}y_0=x^2\cdot Q_n(x)e^{kx}=x^2\cdot(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}y0​=x2⋅Qn​(x)ekx=x2⋅(a0​+a1​x+...+an​xn)ekx

        如：f(x)=(2x−1)e2xf(x)=(2x-1)e^{2x}f(x)=(2x−1)e2x，则假设y0=x2(ax+b)e2x\,y_0=x^2\,(ax+b)e^{2x}y0​=x2(ax+b)e2x.

    step 3. 将特解代入原方程，解出未知数的值. (可以通过下文的快速确定特解方法减少运算量)

    step 4. 得到(∗∗)\color{Red}\,(**)\,(∗∗)的通解y=y+y0\,y={\color{Green}y}+y_0y=y+y0​.

  快速确定特解：
    pp\,p为y′\,y'\,y′的系数，qq\,q为y\,y\,y的系数.

    (1) k≠λ1≠λ2k\neq\lambda_1\neq\lambda_2k​=λ1​​=λ2​：
y0=(a0+a1x+...+anxn)ekx=R(x)ekxy_0=(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}=R(x)e^{kx}y0​=(a0​+a1​x+...+an​xn)ekx=R(x)ekx

      通过下面的式子即可直接确定待定常数：
R′′+(2k+p)R′+(k2+pk+q)R=Pn(x)\color{Blue}R''+(2k+p)R'+(k^2+pk+q)R=P_n(x)R′′+(2k+p)R′+(k2+pk+q)R=Pn​(x)

    (2) k=λ1≠λ2k=\lambda_1\neq\lambda_2k=λ1​​=λ2​：
y0=x⋅(a0+a1x+...+anxn)ekx=R(x)ekxy_0=x\cdot(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}=R(x)e^{kx}y0​=x⋅(a0​+a1​x+...+an​xn)ekx=R(x)ekx

      通过下面的式子即可直接确定待定常数：
R′′+(2k+p)R′=Pn(x)\color{Blue}R''+(2k+p)R'=P_n(x)R′′+(2k+p)R′=Pn​(x)

    (3) k=λ1=λ2k=\lambda_1=\lambda_2k=λ1​=λ2​：
y0=x2⋅(a0+a1x+...+anxn)ekx=R(x)ekxy_0=x^2\cdot(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}=R(x)e^{kx}y0​=x2⋅(a0​+a1​x+...+an​xn)ekx=R(x)ekx

      通过下面的式子即可直接确定待定常数：
R′′=Pn(x)\color{Blue}R''=P_n(x)R′′=Pn​(x)

    特别强调：R(x)R(x)\,R(x)是除去ekx\,e^{kx}ekx的整个多项式，包括前面多乘的xγ\,x^\gammaxγ.

    当然，如果Pn(x)\,P_n(x)\,Pn​(x)足够简单，甚至可以尝试直接看出特解.

  推广至n\,n\,n阶：
y0=xγ⋅Qn(x)eλx\color{Blue} y_0=x^\gamma\cdot Q_n(x)e^{\lambda x}y0​=xγ⋅Qn​(x)eλx

    其中γ\,\gamma\,γ是特征方程中含根λ\,\lambda\,λ的重复次数.

型2：f(x)=eαx[Pm(x)cosβx+Ps(x)sinβx]f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\text{cos}\beta x+P_s(x)\text{sin}\beta x]f(x)=eαx[Pm​(x)cosβx+Ps​(x)sinβx]

  注意：
    (1) Pm(x)P_m(x)Pm​(x)、Ps(x)P_s(x)\,Ps​(x)分别代表m\,m\,m次和s\,s\,s次多项式.
    (2) 注意α\,\alphaα、β\beta\,β的位置：f(x)=eαx[Pm(x)cosβx+Ps(x)sinβx]f(x)=e^{{\color{Red}\alpha} x}[P_m(x)\text{cos}{\color{Red}\beta} x+P_s(x)\text{sin}{\color{Red}\beta} x]f(x)=eαx[Pm​(x)cosβx+Ps​(x)sinβx]
    (3) 在假设这种类型的特解时，无论f(x)\,f(x)\,f(x)中是否同时含有正弦函数和余弦函数，正弦和余弦都需要设出.

  解法：
    step 1. 求出(∗)\color{Red}\,(*)\,(∗)的通解y\,yy.

    step 2. 按照f(x)\,f(x)\,f(x)的形式假设(∗∗)\,\color{Red}(**)\,(∗∗)的特解y0\,y_0y0​.
        设n=max(m,s)\,n=\text{max}(m,s)n=max(m,s)，Qn(x)=(a0+a1x+...+anxn)Q_n(x)=(a_0+a_1x+...+a_nx^n)Qn​(x)=(a0​+a1​x+...+an​xn).

      情形一：若α+iβ\,\alpha+i\beta\,α+iβ不是特征值，则令y0(x)=eαx[Qn(1)(x)cosβx+Qn(2)(x)sinβx]\color{Blue}y_0(x)=e^{\alpha x}[Q^{(1)}_n(x)\text{cos}\beta x+Q^{(2)}_n(x)\text{sin}\beta x]y0​(x)=eαx[Qn(1)​(x)cosβx+Qn(2)​(x)sinβx]

          Qn(1)(x)Q_n^{(1)}(x)Qn(1)​(x)、Qn(2)(x)Q_n^{(2)}(x)\,Qn(2)​(x)为两个不同的n\,n\,n次多项式.

      情形二：若α+iβ\,\alpha+i\beta\,α+iβ是特征值，则令y0(x)=x⋅eαx[Qn(1)(x)cosβx+Qn(2)(x)sinβx]\color{Blue}y_0(x)=x\cdot e^{\alpha x}[Q^{(1)}_n(x)\text{cos}\beta x+Q^{(2)}_n(x)\text{sin}\beta x]y0​(x)=x⋅eαx[Qn(1)​(x)cosβx+Qn(2)​(x)sinβx]

          Qn(1)(x)Q_n^{(1)}(x)Qn(1)​(x)、Qn(2)(x)Q_n^{(2)}(x)\,Qn(2)​(x)为两个不同的n\,n\,n次多项式.

  例：设y′′−2y′+2y=xexcosx\,y''-2y'+2y=xe^x\text{cos}xy′′−2y′+2y=xexcosx，求该方程的特解形式.
    1o1^o\;1o 由λ2−2λ+2=0⇒λ1,2=1±i\,\lambda^2-2\lambda+2=0\Rightarrow \lambda_{1,2}=1\pm i\,λ2−2λ+2=0⇒λ1,2​=1±i.
    2o2^o\;2o 观察xexcosx\,xe^x\text{cos}xxexcosx，α=1\alpha=1α=1，β=1\beta=1β=1，α+iβ=1+i\alpha+i\beta=1+i\,α+iβ=1+i为特征值.
    3o3^o\;3o 设该方程特解为：
y0(x)=xex[(ax+b)sinx+(cx+d)cosx]y_0(x)=xe^x[({\color{Red}ax+b})\text{sin}x+({\color{Red}cx+d})\text{cos}x]y0​(x)=xex[(ax+b)sinx+(cx+d)cosx]

  保证计算准确性：该类型特解求解过程由于eαx\,e^{\alpha x}\,eαx与sinβx\,\text{sin}\beta xsinβx、cosβx\text{cos}\beta x\,cosβx黏在一起 (比如：axeαxcos2xaxe^{\alpha x}\text{cos}2xaxeαxcos2x)，求导过程式子会变得很庞大，极易出错. 所以建议先将这些乘积项整体代换，代入原方程以后再计算.

  比如：设特解形式为y0=xex(acos2x+bsin2x)\,y_0=xe^x(a\text{cos}2x+b\text{sin}2x)y0​=xex(acos2x+bsin2x)，在代入原方程前，可设y1=excos2x\,y_1=e^x\text{cos}2xy1​=excos2x，y2=exsin2xy_2=e^x\text{sin}2xy2​=exsin2x，这样y0=x(ay1+by2)\,y_0=x(ay_1+by_2)y0​=x(ay1​+by2​)，这样求一阶导、二阶导就都是关于y1\,y_1y1​、y2y_2\,y2​的式子了.

  推广至n\,n\,n阶：
y0=xγ⋅eαx[Qn(1)(x)cosβx+Qn(2)(x)sinβx]\color{Blue}y_0=x^\gamma\cdot e^{\alpha x}[Q_n^{(1)}(x)\text{cos}\beta x+Q_n^{(2)}(x)\text{sin}\beta x]y0​=xγ⋅eαx[Qn(1)​(x)cosβx+Qn(2)​(x)sinβx]

    其中Qn(1)(x)\,Q_n^{(1)}(x)Qn(1)​(x)、Qn(2)(x)Q_n^{(2)}(x)\,Qn(2)​(x)是n\,n\,n次多项式，n=max{l,s}n=\text{max}\{l,s\}n=max{l,s}，γ\,\gamma\,γ是特征方程中含根α±βi\,\alpha\pm\beta i\,α±βi的重复次数.

(四) 欧拉方程

   形式
xny(n)+a1xn−1y(n−1)+...+an−1xy′+any=f(x)\color{Purple}x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x)xny(n)+a1​xn−1y(n−1)+...+an−1​xy′+an​y=f(x)

   解法
    若x>0\,x>0\,x>0，令x=et\,\color{Blue}x=e^tx=et；若x<0\,x<0\,x<0，令x=−et\,\color{Blue}x=-e^tx=−et.

    记ddt=D，d2dt2=D2，...，dndtn=Dn\frac{\text{d}}{\text{dt}}=\text{D}，\frac{\text{d}^2}{\text{dt}^2}=\text{D}^2，...，\frac{\text{d}^n}{\text{dt}^n}=\text{D}^ndtd​=D，dt2d2​=D2，...，dtndn​=Dn

    则
xy′=Dy=dydtxy'=\text{D}y=\frac{\text{d}y}{\text{d}t}xy′=Dy=dtdy​

x2y′′=D(D−1)y=d2ydt2−dydtx^2y''=\text{D}(\text{D}-1)y=\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}-\frac{\text{d}y}{\text{d}t}x2y′′=D(D−1)y=dt2d2y​−dtdy​

.........

xky(k)=D(D−1)...(D−k+1)yx^ky^{(k)}=\text{D}(\text{D}-1)...(\text{D}-k+1)yxky(k)=D(D−1)...(D−k+1)y

.........

xny(n)=D(D−1)...(D−n+1)yx^ny^{(n)}=\text{D}(\text{D}-1)...(\text{D}-n+1)yxny(n)=D(D−1)...(D−n+1)y

  步骤：
    以求x3y′′′+x2y′′−4xy′=3x2\,x^3y'''+x^2y''-4xy'=3x^2\,x3y′′′+x2y′′−4xy′=3x2的通解为例.
    1o1^o\;1o先令x=et\,x=e^tx=et.

    令 x=etx=e^tx=et，则t=lnx\,t=\text{ln}xt=lnx

    2o2^o\;2o用微分算子D\,\text{D}\,D表示所有xky(k)\,x^ky^{(k)}\,xky(k)项，加在一起，原方程化为y\,y\,y和t\,t\,t的微分方程.

    原方程化为：D(D−1)(D−2)+D(D−1)−4D=3e2t\text{D}(\text{D}-1)(\text{D}-2)+\text{D}(\text{D}-1)-4\text{D}=3e^{2t}D(D−1)(D−2)+D(D−1)−4D=3e2t
    即 D3y−2D2y−3Dy=3e2t\text{D}^3y-2\text{D}^2y-3\text{D}y=3e^{2t}D3y−2D2y−3Dy=3e2t
    或

d3ydt3−2d2ydt2−3dydt=3e2t\frac{\text{d}^3y}{\text{d}t^3}-2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}-3\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=3e^{2t}dt3d3y​−2dt2d2y​−3dtdy​=3e2t

    3o3^o\;3o此时方程为高阶常系数微分方程，可以进行求解：

    特征方程为：λ3−2λ2−3λ=0\lambda^3-2\lambda^2-3\lambda=0λ3−2λ2−3λ=0
    解得：λ1=0\lambda_1=0λ1​=0，λ2=−1\lambda_2=-1λ2​=−1，λ3=3\lambda_3=3λ3​=3
    于是方程d3ydt3−2d2ydt2−3dydt=0\,\frac{\text{d}^3y}{\text{d}t^3}-2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}-3\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=0\,dt3d3y​−2dt2d2y​−3dtdy​=0的通解为：

y=C1+C2e−t+C3e3t=C1+C2x+C3x3y=C_1+C_2e^{-t}+C_3e^{3t}=C_1+\frac{C_2}{x}+C_3x^3y=C1​+C2​e−t+C3​e3t=C1​+xC2​​+C3​x3

    设特解为：y0=ae2t=ax2y_0=ae^{2t}=ax^2y0​=ae2t=ax2，代入原方程得a=−12\,a=-\frac{1}{2}a=−21​，于是特解
y0=−x22y_0=-\frac{x^2}{2}y0​=−2x2​

    该欧拉方程的通解为：
y=C1+C2x+C3x3−x22y=C_1+\frac{C_2}{x}+C_3x^3-\frac{x^2}{2}y=C1​+xC2​​+C3​x3−2x2​

5 重要技巧

(1) 关于化简

  化简到方程的解没有微分或导数符号就算正确，所以隐式通解也是正确的.

(2) 关于C\,CC、绝对值、分母

求通解

  下面用这个微分方程说明C\,C\,C、绝对值和分母需要注意的地方：
dydx=2xy\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xydxdy​=2xy

  该微分方程明显是可分离变量型的微分方程.

  想要获得该方程的全部解，在移项时注意到y\,y\,y在分母上，移动分母时一定要考虑分母是否为0. 就要像下面这样分类讨论：

    若y=0\,y=0y=0，显然这时方程的特解.
    若y≠0\,y\neq0y​=0，
dydx=2xy⇒dyy=2xdx\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy\Rightarrow\frac{\text{d}y}{y}=2x\text{d}xdxdy​=2xy⇒ydy​=2xdx

  当然，按照本文一开始就强调的通解概念，即使不考虑y=0\,y=0\,y=0得到的解，也已经是方程的通解了. 由于研究生考试只要求能够求出通解，所以以上的分类讨论是不必要的.

  完成分离变量的工作以后就可以对两边积分，得到：
ln∣y∣=x2+C1\text{ln}|y|=x^2+C_1ln∣y∣=x2+C1​

  注意ln\,\text{ln}\,ln积分后要带绝对值：ln∣y∣\text{ln}|y|ln∣y∣，应该带绝对值，就一定要带绝对值.
  同时，解微分方程时，CC\,C在最后求完不定积分以后单独加在一侧即可， (因为两侧出现的常数项最终都可以合并成一个)，
  如果在之后的运算中还会产生与当前常数项独立的常数项，就要对过程中出现的C\,C\,C进行编号 (比如下面的C1\,C_1\,C1​).

ln∣y∣=x2+C1⇒y=±eC1ex2\text{ln}|y|=x^2+C_1\Rightarrow y=\pm e^{C_1}e^{x^2}ln∣y∣=x2+C1​⇒y=±eC1​ex2

  最后，需要对可以合并的常数进行合并：

    令C=±eC1\,C=\pm e^{C_1}C=±eC1​，于是
y=Cex2(C≠0)y=Ce^{x^2} (C\neq 0)y=Cex2(C​=0)

  综合特解y=0\,y=0y=0，得到最终通解为：
y=Cex2y=Ce^{x^2}y=Cex2

  另外，若等式两侧得待积分式都是ln\,\text{ln}ln，加C\,C\,C有以下技巧 (方便之后合并常数部分)：
dxx=du1+u2(x>0)\frac{\text{d}x}{x}=\frac{\text{d}u}{\sqrt{1+u^2}}\;\;\;(x>0)xdx​=1+u2​du​(x>0)⇓\Downarrow⇓lnx=ln(u+1+u2)+lnC\text{ln}x=\text{ln}(u+\sqrt{1+u^2})+\color{Blue}\text{ln}Clnx=ln(u+1+u2​)+lnC

求特解

  求特解时，题目给出的特解条件其实就隐含了方程中x\,x\,x、y\,y\,y的范围.
  比如：求某方程满足初始条件y(1)=1\,y(1)=1\,y(1)=1的特解，就意味着x\,x\,x、y\,y\,y都只需考虑正数.

(3) 微分方程中出现变积分限函数

  清理被积函数中的积分限变量，再对方程两边求导以消去积分.

  如：
f(x)=sinx−∫0xtf(x−t)dtf(x)=\text{sin}x-\int^x_0tf(x-t)\text{d}tf(x)=sinx−∫0x​tf(x−t)dt⇓\Downarrow⇓f(x)=sinx−∫0x(x−u)f(u)dt=sinx−x∫0xf(u)du−∫0xuf(u)duf(x)=\text{sin}x-\int^x_0(x-u)f(u)\text{d}t=\text{sin}x-x\int^x_0f(u)\text{d}u-\int^x_0uf(u)\text{d}uf(x)=sinx−∫0x​(x−u)f(u)dt=sinx−x∫0x​f(u)du−∫0x​uf(u)du⇓\Downarrow⇓f′(x)=cosx−∫0xf(u)duf'(x)=\text{cos}x-\int^x_0f(u)\text{d}uf′(x)=cosx−∫0x​f(u)du⇓\Downarrow⇓f′′(x)+f(x)=−sinxf''(x)+f(x)=-\text{sin}xf′′(x)+f(x)=−sinx

  尤其还要注意的是，带定积分或无穷级数的微分方程可能具有隐含条件.

如：
f(x)−∫0xf(x−t)dt=exf(x)-\int^x_0f(x-t)\text{d}t=e^xf(x)−∫0x​f(x−t)dt=ex

  假设题目要求解该微分方程. 乍一看没有初始条件，很容易以为求到带C\,C\,C的结果就结束了.
  但实际上由于定积分的特点，方程显然满足还f(0)=0\,f(0)=0f(0)=0，结果自然是不应该出现C\,C\,C的.
  同样，如果题目给出了无穷级数，级数的首项本身就是一个隐含条件.

(4) 分子为1\,1\,1型微分方程

  形式如下：
dydx=1φ(x,y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{\varphi(x,y)}dxdy​=φ(x,y)1​

  这类题目有以下几种思路：

    (1) 分子分母交换，然后对x\,x\,x使用一阶齐次线性微分方程的通解公式，如：

dydx=12x+y2⇒dxdy−2x=y2\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{2x+y^2}\Rightarrow\frac{\text{d}x}{\text{d}y}-2x=y^2dxdy​=2x+y21​⇒dydx​−2x=y2

    (2) 对分母使用换元法，转化为易解微分方程. 尤其是分母次数较高的情况，如：
dydx=1(x+y)2\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{(x+y)^2}dxdy​=(x+y)21​

(5) 换元法 (变换)

xxx、yy\,y交换

  题目需要交换x\,xx、yy\,y的角色才能求解，各类微分方程都有使用场景.

  比如在齐次方程中，题目只给了y>0\,y>0\,y>0的条件，而x\,x\,x不确定，导致只能移项时避免除0\,00，只能出现xy\,\frac{x}{y}yx​，就需要令u=xy\,u=\frac{x}{y}\,u=yx​.

  有的题目可以通过对x\,x\,x使用通解公式，转化为一阶线性非齐次微分方程问题，比如：
y′=12x−y2y'=\frac{1}{2x-y^2}y′=2x−y21​

  字母都集中在分母上，又不能用齐次或分离变量很好解决，可以考虑交换x\,xx、yy\,y：

dxdy+P(y)x=Q(y)，x=[∫Q(y)e∫P(y)dydy+C]e−∫P(y)dy{\color{Purple}\frac{\text{d}x}{\text{d}y}+P(y)x=Q(y)}，{\color{Blue} x=}\bigg[{\color{Blue} \int Q(y){\color{Green}e^{\int P(y)\text{d}y}}\text{d}y+C}\bigg]\color{Blue}\color{Green}e^{-\int P(y)\text{d}y}dydx​+P(y)x=Q(y)，x=[∫Q(y)e∫P(y)dydy+C]e−∫P(y)dy

一般换元

  例如：
dydx=1(x+y)2\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{(x+y)^2}dxdy​=(x+y)21​

  令x+y=u\,x+y=ux+y=u，则
dudx=1+u2u2\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{1+u^2}{u^2}dxdu​=u21+u2​

  又比如：
ydydx−12xy2=−x2y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{1}{2x}y^2=-\frac{x}{2}ydxdy​−2x1​y2=−2x​⇒dy2dx−1xy2=−x\Rightarrow\frac{\text{d}y^2}{\text{d}x}-\frac{1}{x}y^2=-x⇒dxdy2​−x1​y2=−x⇒y2=[∫−x⋅e−∫12xdxdx]⋅e∫12xdx\Rightarrow y^2=\bigg[\int -x\cdot e^{-\int\frac{1}{2x}\text{d}x}\text{d}x\bigg]\cdot e^{\int\frac{1}{2x}\text{d}x}⇒y2=[∫−x⋅e−∫2x1​dxdx]⋅e∫2x1​dx

  注意：换元法不易想到，不过考试时复杂题目会直接给出变换. 先完成变换，再求通解.

三角函数换元

  一阶微分方程中发现有y\,y\,y出现在三角函数中，一定要考虑能否用换元法解决.

  比如要求下面这个微分方程：
y′+siny+xcosy+x=0y'+\text{sin}y+x\text{cos}y+x=0y′+siny+xcosy+x=0

  下面给出过程：
y′+siny+xcosy+x=0⇔y′+siny+x(cosx+1)=0y'+\text{sin}y+x\text{cos}y+x=0\Leftrightarrow y'+\text{sin}y+x(\text{cos}x+1)=0y′+siny+xcosy+x=0⇔y′+siny+x(cosx+1)=0

⇔y′+2siny2cosy2+2xcos2y2=0\Leftrightarrow y'+2\text{sin}\frac{y}{2}\text{cos}\frac{y}{2}+2x\text{cos}^2\frac{y}{2}=0⇔y′+2sin2y​cos2y​+2xcos22y​=0

    两边除以2cos2y2\,2\text{cos}^2\frac{y}{2}2cos22y​，得到
12sec2y2⋅dydx+tany2=−x\frac{1}{2}\text{sec}^2\frac{y}{2}\cdot\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+\text{tan}\frac{y}{2}=-x21​sec22y​⋅dxdy​+tan2y​=−x

⇔d(tany2)dx+tany2=−x\Leftrightarrow \frac{\text{d}(\text{tan}\frac{y}{2})}{\text{d}x}+\text{tan}\frac{y}{2}=-x⇔dxd(tan2y​)​+tan2y​=−x

    令u=tany2\,u=\text{tan}\frac{y}{2}u=tan2y​，原方程化为：
dudx+u=−x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+u=-xdxdu​+u=−x

    问题就转化一阶非齐次线性微分方程了.

反函数变换

  有的题目会要求把微分方程替换为反函数满足的微分方程，牢记下面两个反函数的变换：

dxdy=1y′\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{1}{y'}dydx​=y′1​

d2xdy2=−y′′y′3\frac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2}=-\frac{y''}{y'^3}dy2d2x​=−y′3y′′​

  推导过程也要掌握：
dxdy=1dydx=1y′\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{1}{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}}=\frac{1}{y'}dydx​=dxdy​1​=y′1​

d2xdy2=d(dxdy)dy=d(1dydx)/dxdy/dx=−y′′y′3\frac{\text{d}^2x}{\text{d}y^2}=\frac{\text{d}(\frac{\text{d}x}{\text{d}y})}{\text{d}y}=\frac{\text{d}(\frac{1}{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}})/\text{d}x}{\text{d}y/\text{d}x}=-\frac{y''}{y'^3}dy2d2x​=dyd(dydx​)​=dy/dxd(dxdy​1​)/dx​=−y′3y′′​

  注意：根据已知函数的微分方程求其反函数满足的微分方程，只需替换方程中含导数的部分，其他部分不变!

  比如d2xdx2+(y+sinx)(dxdy)3=0\,\frac{\text{d}^2x}{\text{d}x^2}+(y+\text{sin}x)(\frac{\text{d}x}{\text{d}y})^3=0dx2d2x​+(y+sinx)(dydx​)3=0，反函数微分方程只需替换d2xdx2\,\frac{\text{d}^2x}{\text{d}x^2}\,dx2d2x​和(dxdy)3\,(\frac{\text{d}x}{\text{d}y})^3(dydx​)3，y+sinxy+\text{sin}x\,y+sinx不变.

(6) 凑微法总结

  多用于可降阶的高阶微分方程求解：

  (aaa) x±yx\pm y\,x±y型：

xdy+ydx=d(xy)\color{Blue} x\text{d}y+y\text{d}x=\text{d}(xy)xdy+ydx=d(xy)

xdx+ydy=12d(x2+y2)\color{Blue} x\text{d}x+y\text{d}y=\frac{1}{2}\text{d}(x^2+y^2)xdx+ydy=21​d(x2+y2)

xdy−ydxx2=d(yx)\color{Blue} \frac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2}=\text{d}(\frac{y}{x})x2xdy−ydx​=d(xy​)

xdy−ydxy2=d(−xy)\color{Blue} \frac{x\text{d}y-y\text{d}x}{y^2}=\text{d}(-\frac{x}{y})y2xdy−ydx​=d(−yx​)

  (bbb) 一般二元线性微分型：
axdy+bydx=d(xbya)x(b−1)ya−1(a≠0,b≠0){\color{Blue} ax\text{d}y+by\text{d}x=\frac{\text{d}(x^by^a)}{x^{(b-1)}y^{a-1}}}\;\;\;(a\neq 0, b \neq 0)axdy+bydx=x(b−1)ya−1d(xbya)​(a​=0,b​=0)

=d(xλbyλa)xλb−1yλa−1(λ≠0,a≠0,b≠0){\color{Blue}=\frac{\text{d}(x^{\lambda b}y^{\lambda a})}{x^{\lambda b-1}y^{\lambda a-1}}}\;\;\;(\lambda\neq 0, a\neq 0, b \neq 0)=xλb−1yλa−1d(xλbyλa)​(λ​=0,a​=0,b​=0)

  (ccc) 最常用：

2yy′=(y2)′\color{Blue}2yy'=(y^2)'2yy′=(y2)′

xy′′+ay′⇒xay′′+axa−1y′⇒(xay′)′\color{Blue}xy''+ay'\Rightarrow x^ay''+ax^{a-1}y' \Rightarrow (x^ay')'xy′′+ay′⇒xay′′+axa−1y′⇒(xay′)′

yy′′−y′2⇒yy′′−y′2y2⇒(y′y)′\color{Blue}yy''-y'^2\Rightarrow \frac{yy''-y'^2}{y^2}\Rightarrow(\frac{y'}{y})'yy′′−y′2⇒y2yy′′−y′2​⇒(yy′​)′

yy′′−y′2=a⇒(y′y)′=a⇒y′y=ax+C\color{Blue}yy''-y'^2=a\Rightarrow(\frac{y'}{y})'=a\Rightarrow \frac{y'}{y}=ax+Cyy′′−y′2=a⇒(yy′​)′=a⇒yy′​=ax+C

(7) 根号的符号问题

  题目中出现根号时一定要小心符号问题!

  观察下面这个齐次微分方程：
y′=x2−y2+yxy'=\frac{\sqrt{x^2-y^2}+y}{x}y′=xx2−y2​+y​

y′=x2−y2+yx=±1−y2x2={1−y2x2，x>0−1−y2x2，x<0y'=\frac{\sqrt{x^2-y^2}+y}{x}={\color{Red}\pm}\sqrt{1-\frac{y^2}{x^2}}=\begin{cases}\\\sqrt{1-\frac{y^2}{x^2}}，&x>0\\ -\sqrt{1-\frac{y^2}{x^2}}，&x<0 \end{cases}y′=xx2−y2​+y​=±1−x2y2​​=⎩⎨⎧​1−x2y2​​，−1−x2y2​​，​x>0x<0​

  在一阶线性微分方程通解公式中，若∫P(x)dx=ln∣φ(x)∣\,\int P(x)\text{d}x=\text{ln}|\varphi(x)|∫P(x)dx=ln∣φ(x)∣，φ(x)\,\varphi(x)\,φ(x)可以不加绝对值.
  但对于下面这个情况(P(x)P(x)\,P(x)的分母出现偶数)，由于根式必须有意义，所以不得不考虑符号：
    某一阶非齐次线性方程的通解公式中，P(x)=12xP(x)=\frac{1}{2x}P(x)=2x1​，则
e∫P(x)dx=e∫12xdx={x，x⩾0−x，x<0e^{\int P(x)\text{d}x}=e^{\int\frac{1}{2x}\text{d}x}=\begin{cases}\sqrt{x}，&x\geqslant0\\\sqrt{-x}，&x<0\end{cases}e∫P(x)dx=e∫2x1​dx={x​，−x​，​x⩾0x<0​

(8) 高阶常系数线性微分方程解与方程的关系

  高阶常系数线性微分方程的题目中，有一类题目会让通过给定的特解反推微分方程.

  这就要求非常熟悉解的结构理论，尤其强调：

    (∗∗)\color{Red}(**)\,(∗∗)的任一解都可由(∗)\,\color{Red}(*)\,(∗)的通解和(∗∗)\color{Red}(**)\,(∗∗)的特解相加形成.

  这类题目通过观察特解，将特解与不同情况的通解公式作对比，从而确定特征方程，得到微分方程：

y0=ex+2xex⇒λ1=λ2=1⇒(λ−1)2=0⇒y′′−2y′+y=0y_0=e^x+2xe^x\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=1\Rightarrow(\lambda-1)^2=0\Rightarrow y''-2y'+y=0y0​=ex+2xex⇒λ1​=λ2​=1⇒(λ−1)2=0⇒y′′−2y′+y=0

  也有可能其中一个λ\,\lambda\,λ为0\,00：
y0=2+e3x⇒λ1=0,λ2=3⇒λ(λ−3)=0⇒y′′−3y′=0y_0=2+e^{3x}\Rightarrow \lambda_1=0,\,\lambda_2=3\Rightarrow\lambda(\lambda-3)=0\Rightarrow y''-3y'=0y0​=2+e3x⇒λ1​=0,λ2​=3⇒λ(λ−3)=0⇒y′′−3y′=0

  除了特解推微分方程，有的题目也会给出带未知数或未知函数的微分方程，让求未知函数和通解等，比如下面这道题：

  设二阶常系数非齐次线性微分方程y′′+y′+qy=Q(x)\,y''+y'+qy=Q(x)\,y′′+y′+qy=Q(x)有特解y=3e−4x+x2+3x+2\,y=3e^{-4x}+x^2+3x+2y=3e−4x+x2+3x+2，Q(x)Q(x)\,Q(x)为多项式，则Q(x)=\,Q(x)=\,Q(x)=_________，该微分方程的通解为 ________.

  分析：先分析解的结构：
    题目中的特解显然是由(∗)\,\color{Red}(*)\,(∗)的通解和(∗∗)\color{Red}(**)\,(∗∗)的特解相加形成.
    其中包含e−4x\,e^{-4x}e−4x，说明有λ1=−4\,\lambda_1=-4\,λ1​=−4(注意不能说明λ2=0\,\lambda_2=0λ2​=0).
    之所以只出现一项e−4x\,e^{-4x}e−4x是因为另一项的系数取0\,00. 即(∗)\,\color{Red}(*)\,(∗)的通解中C1=3\,C_1=3C1​=3，C2=0C_2=0C2​=0，
    剩下的x2+3x+2\,x^2+3x+2\,x2+3x+2自然是(∗∗)\,\color{Red}(**)\,(∗∗)的特解.
    但是截至目前仍不清楚λ2\,\lambda_2\,λ2​的值. 所以将λ1\,\lambda_1\,λ1​代入特征方程λ2+λ+q=0\,\lambda^2+\lambda+q=0λ2+λ+q=0，
    这样就能解得λ2=3\,\lambda_2=3λ2​=3.
    前面已经知道x2+3x+2\,x^2+3x+2\,x2+3x+2是方程的特解，代入方程即可求得Q(x)\,Q(x)\,Q(x)和通解.

  三阶常系数线性微分方程的分析也是同理，选择题切忌直接代入计算，很浪费时间.

  例. 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex\,y_1=e^xy1​=ex，y2=2xexy_2=2xe^xy2​=2xex，y3=3e−xy_3=3e^{-x}y3​=3e−x，求微分方程.

  解：由y1=ex\,y_1=e^xy1​=ex，y2=2xexy_2=2xe^xy2​=2xex，y3=3e−xy_3=3e^{-x}y3​=3e−x，得λ1=λ2=1\,\lambda_1=\lambda_2=1λ1​=λ2​=1，λ3=−1\lambda_3=-1λ3​=−1，于是有
(λ−1)2(λ+1)=0⇒λ3−λ2−λ+1=0(\lambda-1)^2(\lambda+1)=0\Rightarrow \lambda^3-\lambda^2-\lambda+1=0(λ−1)2(λ+1)=0⇒λ3−λ2−λ+1=0

    故：
y′′′−y′′−y′+y=0y'''-y''-y'+y=0y′′′−y′′−y′+y=0

  如何由某个(∗∗)\,\color{Red}(**)\,(∗∗)的解推出方程右侧的f(x)\,f(x)\,f(x)：
    将该解直接代入方程即可解出f(x)\,f(x)f(x).

(9) 韦达定理

  设一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)\,ax^2+bx+c=0\;\;(a,b,c\in R,\,a\neq0)\,ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a​=0)中，其两根有如下关系：
x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a}x1​+x2​=−ab​

x1⋅x2=cax_1\cdot x_2=\frac{c}{a}x1​⋅x2​=ac​

  以下是考研真题：

  例. 设函数f(x)\,f(x)\,f(x)满足f′′(x)+af′(x)+f(x)=0(a>0)\,f''(x)+af'(x)+f(x)=0\;(a>0)f′′(x)+af′(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m\,f(0)=mf(0)=m，f′(0)=nf'(0)=nf′(0)=n，求反常积分：
∫0+∞f(x)dx\int^{+\infty}_0f(x)\text{d}x∫0+∞​f(x)dx

  解：方程特征方程：λ2+aλ+1=0\lambda^2+a\lambda+1=0λ2+aλ+1=0.
    由韦达定理，
{λ1+λ2=−aλ1⋅λ2=1\begin{cases}\lambda_1+\lambda_2=-a\\\lambda_1\cdot\lambda_2=1\end{cases}{λ1​+λ2​=−aλ1​⋅λ2​=1​

     所以假定方程解为：f(x)=C1eλ1x+C2eλ2x(λ1<0、λ2<0)f(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\;\;\;(\lambda_1<0、\lambda_2<0)f(x)=C1​eλ1​x+C2​eλ2​x(λ1​<0、λ2​<0)

f′(x)=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2xf'(x)=C_1\lambda_1e^{\lambda_1x}+C_2\lambda_2e^{\lambda_2x}f′(x)=C1​λ1​eλ1​x+C2​λ2​eλ2​x

lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞f′(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0x→+∞lim​f(x)=x→+∞lim​f′(x)=0

    由 f(x)=−f′′(x)+af′(x)f(x)=-f''(x)+af'(x)f(x)=−f′′(x)+af′(x)，

∫0+∞f(x)dx=−∫0+∞[f′′(x)+af′(x)]dx=−f′(x)∣0+∞−af(x)∣0+∞=n+am\int^{+\infty}_0f(x)\text{d}x=-\int^{+\infty}_0\big[f''(x)+af'(x)\big]\text{d}x=-f'(x)\big|^{+\infty}_0-af(x)\big|^{+\infty}_0=n+am∫0+∞​f(x)dx=−∫0+∞​[f′′(x)+af′(x)]dx=−f′(x)∣∣​0+∞​−af(x)∣∣​0+∞​=n+am

(10) 什么情况下解微分方程可以不加绝对值?

  虽然严谨的做法是应该加绝对值就要加绝对值，之后再对常数合并的时候才去掉绝对值. 但为了省去繁琐的讨论过程，可以记住下面的结论：

    case 1. 对于可分离变量方程，方程中没有无理数因子，计算过程不需要加绝对值，否则必须加.

      下面这个微分方程就是属于含有无理数因子的情况(必须加绝对值)：

  例. 2xy′=y\sqrt{2}xy'=y2​xy′=y.
  解:
    分离变量可得：2∫dyy=∫dxx\sqrt{2}\int\frac{\text{d}y}{y}=\int\frac{\text{d}x}{x}2​∫ydy​=∫xdx​⇒2ln∣y∣=ln∣x∣+lnC1\Rightarrow\sqrt{2}\text{ln}|y|=\text{ln}|x|+\text{ln}C_1⇒2​ln∣y∣=ln∣x∣+lnC1​⇒∣y∣2=Cx\Rightarrow |y|^{\sqrt{2}}=Cx⇒∣y∣2​=Cx

    这种情况的根本原因是由于无理数次方的绝对值不可打开.

    case 2. 对于一阶线性微分方程，P(x)P(x)\,P(x)中没有无理数因子，且分母不是偶数，计算过程不需要加绝对值，否则必须加.

      下面这个微分方程就是属于P(x)\,P(x)\,P(x)分母含有偶数的情况(必须加绝对值)：

  例. y′−y2x=xy'-\frac{y}{2x}=xy′−2xy​=x.
  解:
    利用公式可以解得：y=[∫x⋅e∫(−12x)dxdx+C]e∫12xdx=[∫x∣x∣dx+C]∣x∣dx={23x2+Cx,x>023x2+C−x,x<0y=\bigg[\int x\cdot e^{\int (-\frac{1}{2x})\text{d}x}\text{d}x+C \bigg]e^{\int\frac{1}{2x}}\text{d}x=\bigg[\int \frac{x}{\sqrt{|x|}} \text{d}x+C \bigg]\sqrt{|x|}\text{d}x=\begin{cases}\frac{2}{3}x^2+C\sqrt{x},&x>0\\\frac{2}{3}x^2+C\sqrt{-x},&x<0\end{cases}y=[∫x⋅e∫(−2x1​)dxdx+C]e∫2x1​dx=[∫∣x∣​x​dx+C]∣x∣​dx={32​x2+Cx​,32​x2+C−x​,​x>0x<0​

  综上，y=23x2+C∣x∣y=\frac{2}{3}x^2+C\sqrt{|x|}y=32​x2+C∣x∣​

    这种情况的根本原因是由于开偶次方，xx\,x必须保证是正数才有意义.

(11) 一阶微分方程出现e−y\,e^{-y}\,e−y

  方程两边同乘ex\,e^{x}ex，再通过换元法转化为一阶线性微分方程.

  例如：y′+1=e−ysinxy'+1=e^{-y}\text{sin}xy′+1=e−ysinx.
y′+1=e−ysinx⇒y′ey+ey=sinx⇒(ey)′+ey=sinxy'+1=e^{-y}\text{sin}x\Rightarrow y'e^y+e^y=\text{sin}x\Rightarrow (e^y)'+e^y=\text{sin}xy′+1=e−ysinx⇒y′ey+ey=sinx⇒(ey)′+ey=sinx

    令u=ey\,u=e^yu=ey，u′+u=sinxu'+u=\text{sin}xu′+u=sinx.

6 微分方程的应用

(一) 使用极限、导数、积分等式构造微分方程

(1) 极限条件

  例：已知函数f(x)\,f(x)\,f(x)在(0,+∞)\,(0,+\infty)\,(0,+∞)内可导，f(x)>0f(x)>0f(x)>0，lim⁡x→+∞f(x)=1\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=1x→+∞lim​f(x)=1，且满足：
lim⁡h→0[f(x+hx)f(x)]1h=e1x，\lim\limits_{h\to 0}\bigg[\frac{f(x+hx)}{f(x)}\bigg]^{\frac{1}{h}}=e^\frac{1}{x}，h→0lim​[f(x)f(x+hx)​]h1​=ex1​，

    求f(x)\,f(x)f(x).
  解：
左边=elim⁡h→0f(x+hx)−f(x)f(x)⋅1h=exf(x)lim⁡h→0f(x+hx)−f(hx)hx=exf(x)⋅f′(x)=e1x左边 =e^{\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+hx)-f(x)}{f(x)}\cdot \frac{1}{h}}=e^{\frac{x}{f(x)}\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+hx)-f(hx)}{hx}}=e^{\frac{x}{f(x)}\cdot f'(x)}=e^\frac{1}{x}左边=eh→0lim​f(x)f(x+hx)−f(x)​⋅h1​=ef(x)x​h→0lim​hxf(x+hx)−f(hx)​=ef(x)x​⋅f′(x)=ex1​

    于是有xf(x)⋅f′(x)=1x\frac{x}{f(x)}\cdot f'(x)=\frac{1}{x}f(x)x​⋅f′(x)=x1​.........

(2) 导数条件

  a. 题目可以结合可微的定义：如果题目中出现y=y(x)\,y=y(x)\,y=y(x)可微，且：
Δy=φ(x,y)Δx+α\Delta y=\varphi(x,y)\Delta x+\alphaΔy=φ(x,y)Δx+α

    其中α\,\alpha\,α为无穷小量. 就能构造微分方程：
y′=φ(x,y)y'=\varphi(x,y)y′=φ(x,y)

  b. 有的题目会给出一个偏导数方程，利用它来构造微分方程. 这就要求对求导的各种类型要非常熟练.

    比如下面这道题：

      设u=f(v)\,u=f(v)\,u=f(v)，v=lnrv=\text{ln}rv=lnr，r=x2+y2+z2r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}r=x2+y2+z2​，满足
∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=1r3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=\frac{1}{r^3}∂x2∂2u​+∂y2∂2u​+∂z2∂2u​=r31​

(3) 积分条件

  例：设f(x)\,f(x)\,f(x)在(−1,+∞)\,(-1,+\infty)\,(−1,+∞)上具有连续的一阶导数，且f(0)=1\,f(0)=1f(0)=1，
f′(x)+f(x)−1x+1∫0xf(t)dt=0f'(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}\int^x_0f(t)\text{d}t=0f′(x)+f(x)−x+11​∫0x​f(t)dt=0

  求f′(x)\,f'(x)f′(x).

(二) 使用几何应用构造微分方程

(1) 切线斜率

k=f′(x0)=tanαk=f'(x_0)=\text{tan}\alphak=f′(x0​)=tanα

  注意：使用几何关系求时，注意斜率正负.

(2) 截距

Y−y=y′(X−x)Y-y=y'(X-x)Y−y=y′(X−x)

  xx\,x轴上的截距：令Y=0\,Y=0Y=0，X=x−yy′X=x-\frac{y}{y'}X=x−y′y​；
  yy\,y轴上的截距：令X=0\,X=0X=0，Y=y−xy′Y=y-xy'Y=y−xy′.

(3) 面积、体积

  曲边梯形面积：
S=∫abf(x)dxS=\int^b_af(x)\text{d}xS=∫ab​f(x)dx

  绕x\,xx、yy\,y轴旋转体积：
Vx=π∫abf2(x)dx，Vy=2π∫abx∣f(x)∣1+f′2(x)dxV_x=\pi\int^b_a f^2(x)\text{d}x，V_y=2\pi\int^b_a x|f(x)|\sqrt{1+f'^2(x)}\text{d}xVx​=π∫ab​f2(x)dx，Vy​=2π∫ab​x∣f(x)∣1+f′2(x)​dx

  侧面积：
S=2π∫ab∣f(x)∣dxS=2\pi\int^b_a|f(x)|\text{d}xS=2π∫ab​∣f(x)∣dx

(4) 平均值

fˉ=1b−a∫abf(x)dx=f(ξ)\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int^b_af(x)\text{d}x=f(\xi)fˉ​=b−a1​∫ab​f(x)dx=f(ξ)

(5) 弧长

L=∫ab1+f′2(x)dxL=\int^b_a\sqrt{1+f'^2(x)}\text{d}xL=∫ab​1+f′2(x)​dx

(6) 曲率

k=∣f′′(x)∣[1+f′2(x)]32k=\frac{|f''(x)|}{[1+f'^2(x)]^\frac{3}{2}}k=[1+f′2(x)]23​∣f′′(x)∣​

  注意：题目通常会给出凹凸性以去掉绝对值.

(7) 形心

xˉ=∬Dxdσ∬Ddσ\bar{x}=\frac{\iint\limits_{D}x\text{d}\sigma}{\iint\limits_{D}\text{d}\sigma}xˉ=D∬​dσD∬​xdσ​

yˉ=∬Dydσ∬Ddσ\bar{y}=\frac{\iint\limits_{D}y\text{d}\sigma}{\iint\limits_{D}\text{d}\sigma}yˉ​=D∬​dσD∬​ydσ​

(三) 使用变化率构造微分方程

  此类题目通常根据题目已知条件可以构造出下面形式的式子：
dAdt=±kΔ(k>0)\frac{\text{d}A}{\text{d}t}={\color{Red}\pm}k\Delta\;\;(k>0)dtdA​=±kΔ(k>0)

  如何判断正负号：若A\,A\,A随t\,t\,t的增加而增加，则为正号；若A\,A\,A随t\,t\,t的增加而减少，则为负号.

  下面列举一些题目：

(1) 元素衰变问题

  例：设放射性元素在衰变过程中，任意时刻原子个数的减少率与该时刻原子总数成正比，比例常数为λ(λ>0)\,\lambda\;(\lambda>0)λ(λ>0). 假设t\,t\,t时刻的原子总数为N(t)\,N(t)N(t)，N0N_0\,N0​是初始时刻t=0\,t=0\,t=0时的原子个数，且有半数发生衰变需要的时间为T0\,T_0T0​，求N(t)\,N(t)\,N(t)的表达式.

  解：
dN(t)dt=−λN(t)\frac{\text{d}N(t)}{\text{d}t}={\color{Red}-}\lambda N(t)dtdN(t)​=−λN(t)

∫dN(t)N(t)=−∫λdt\int\frac{\text{d}N(t)}{N(t)}=-\int\lambda\text{d}t∫N(t)dN(t)​=−∫λdt

N(t)=C⋅e−λtN(t)=C\cdot e^{-\lambda t}N(t)=C⋅e−λt

(2) 人口增长问题

  例：设一个地区人口的增长率与当时的人口总数成正比，N(t)N(t)\,N(t)表示在时刻t\,t\,t该地区的人口总量，N0\,N_0\,N0​是初始时刻的人口数，比例常数为r(r>0)\,r(r>0)r(r>0).
(1) 求N(t)\,N(t)\,N(t)的表达式.
(2) 若将常数r\,r\,r改为r−bN(t)(r−bN(t)>0)\,r-bN(t)\;(r-bN(t)>0)r−bN(t)(r−bN(t)>0)，求N(t)\,N(t)\,N(t)的表达式.

  解：
    (1)
dN(t)dt=rN(t)\frac{\text{d}N(t)}{\text{d}t}=rN(t)dtdN(t)​=rN(t)

    (2)
dN(t)dt=(r−bN(t))N(t)\frac{\text{d}N(t)}{\text{d}t}=(r-bN(t))N(t)dtdN(t)​=(r−bN(t))N(t)

∫dN(r−bN)N=∫dt\int\frac{\text{d}N}{(r-bN)N}=\int\text{d}t∫(r−bN)NdN​=∫dt

.........

(3) 曳物线问题 (追踪问题)

  例：在xOy\,xOy\,xOy平面上，设∣PQ∣=1\,|PQ|=1∣PQ∣=1，初始时刻P\,P\,P在原点，QQ\,Q在(1,0)\,(1,0)\,(1,0)点，若P\,P\,P沿着y\,y\,y轴的正方向移动，求Q\,Q\,Q点的运动轨迹.

  解：
{x2+(y−Y)2=1dydx=−Y−yx\begin{cases}x^2+(y-Y)^2=1\\\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{Y-y}{x}\end{cases}{x2+(y−Y)2=1dxdy​=−xY−y​​

.........

(4) 冷却定律

  例：已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比. 现将一初始温度为120∘C\,120{^\circ C}\,120∘C的物体在20∘C\,20{^\circ C}\,20∘C恒温介质中冷却，30min⁡\,\min\,min后该物体温度降至30∘C\,30{^\circ C}30∘C，若要将该物体的温度继续降至21∘C\,21{^\circ C}21∘C，还需冷却多长时间.

  解：
dTdt=−k(T−20)\frac{\text{d}T}{\text{d}t}={\color{Red}-}k(T-20)dtdT​=−k(T−20)

.........

(5) 牛顿第二定律

F=m⋅a=mdvdt=mdvdx⋅dxdt=mvdvdx=md2xdt2F=m\cdot a = m\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=m\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\cdot\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=mv\frac{\text{d}v}{\text{d}x}=m\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}F=m⋅a=mdtdv​=mdxdv​⋅dtdx​=mvdxdv​=mdt2d2x​

  例： 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg\,9000\,\text{kg}\,9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h\,700\,\text{km/h}700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为k=6.0×106\,k=6. 0\times10^6k=6.0×106). 求从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少.

  解：
v(0)=v0v(0)=v_0v(0)=v0​

mdvdt=−kvm\frac{\text{d}v}{\text{d}t}={\color{Red}-}kvmdtdv​=−kv

m⋅dvdx⋅v=−kvm\cdot\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\cdot v=-kvm⋅dxdv​⋅v=−kv

.........

(四) 使用微元法构造微分方程

  常用于等量关系找不到或用不上.
  注水问题是一大典型问题，通常要从溶质考虑：

  例：某湖泊水量为V\,VV，每年排入湖泊中内含污染物A\,A\,A的污水量为V6\frac{V}{6}6V​，流入湖泊内不含A\,A\,A的水量微V6\,\frac{V}{6}6V​，流出湖的水量为V3\,\frac{V}{3}3V​. 设1999年底湖中A\,A\,A的含量为5m0\,5m_05m0​，超过国家规定指标. 为了治理污染. 从2000年初开始. 限定排入湖中含A\,A\,A污水的浓度不超过m0V\,\frac{m_0}{V}Vm0​​，问至多经过多少年，湖中污染物A\,A\,A的含量降到m0\,m_0\,m0​以内 (设湖中A\,A\,A的浓度是均匀的)?

  解：
    设t\,t\,t时刻A\,A\,A的含量为m(t)\,m(t)m(t)，m(0)=5m0\,m(0)=5m_0m(0)=5m0​.
    取[t,t+dt]\,[t,\,t+\text{d}t][t,t+dt]，则
dm=m0V⋅V6dt−mV⋅V3dt\text{d}m=\frac{m_0}{V}\cdot\frac{V}{6}\text{d}t-\frac{m}{V}\cdot\frac{V}{3}\text{d}tdm=Vm0​​⋅6V​dt−Vm​⋅3V​dt

dmdt=m06−m3\frac{\text{d}m}{\text{d}t}=\frac{m_0}{6}-\frac{m}{3}dtdm​=6m0​​−3m​

dmdt+m3=m06\frac{\text{d}m}{\text{d}t}+\frac{m}{3}=\frac{m_0}{6}dtdm​+3m​=6m0​​

m=[∫m06e∫13dtdt+C]e−∫13dt=m02+Ce−13tm=\bigg[\int\frac{m_0}{6}e^{\int\frac{1}{3}\text{d}t}\text{d}t+C\bigg]e^{-\int\frac{1}{3}\text{d}t}=\frac{m_0}{2}+Ce^{-\frac{1}{3}t}m=[∫6m0​​e∫31​dtdt+C]e−∫31​dt=2m0​​+Ce−31​t

    由m(0)=5m0\,m(0)=5m_0m(0)=5m0​，C=92m0C=\frac{9}{2}m_0C=29​m0​，
m=m02+92m0e−13tm=\frac{m_0}{2}+\frac{9}{2}m_0e^{-\frac{1}{3}t}m=2m0​​+29​m0​e−31​t

    令m=m0\,m=m_0m=m0​，t=6⋅ln3t=6\cdot\text{ln}3\,t=6⋅ln3(年).

(五) 判断极值点

  例. 设y=f(x)\,y=f(x)\,y=f(x)是y′′−2y′+4y=0\,y''-2y'+4y=0\,y′′−2y′+4y=0的一个解，若f(x0)>0\,f(x_0)>0\,f(x0​)>0且f′(x0)=0\,f'(x_0)=0f′(x0​)=0，讨论函数f(x)\,f(x)\,f(x)在点x0\,x_0\,x0​处是否为极值点.
  显然x0\,x_0\,x0​是驻点，而f′′(x0)=2f′(x0)−4f(x0)=4f(x0)<0\,f''(x_0)=2f'(x_0)-4f(x_0)=4f(x_0)<0f′′(x0​)=2f′(x0​)−4f(x0​)=4f(x0​)<0，所以是极大值点.

  上面这种解题思路非常重要，即通过对微分方程移项后考虑问题.

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