[Tsinsen A1210] 光棱坦克（动态规划+前缀和优化）

题意

一个平面直角坐标系上，有 N N N个点，标号为 1 1 1到 N N N，其中第 i i i个点的坐标为 ( x [ i ] , y [ i ] ) (x[i], y[i]) (x[i],y[i])，求满足以下两个条件的点列 p [ i ] {p[i]} p[i]的数目(假设 p [ i ] {p[i]} p[i]的长度为 M M M)，一是对任意 1 ≤ i < j ≤ M 1 \le i < j \le M 1≤i<j≤M，必有 y [ p [ i ] ] y[p[i]] y[p[i]] > y [ p [ j ] ] y[p[j]] y[p[j]]；二是对任意 3 ≤ i ≤ M 3 \le i \le M 3≤i≤M，必有 x [ p [ i − 1 ] ] < x [ p [ i ] ] < x [ p [ i − 2 ] ] x[p[i-1]] < x[p[i]] < x[p[i-2]] x[p[i−1]]<x[p[i]]<x[p[i−2]]或者 x [ p [ i − 2 ] ] < x [ p [ i ] ] < x [ p [ i − 1 ] ] x[p[i-2]] < x[p[i]] < x[p[i-1]] x[p[i−2]]<x[p[i]]<x[p[i−1]]。求满足条件的非空序列 p [ i ] {p[i]} p[i]的数目，结果对一个整数 Q Q Q取模。

对于第一个限制很容易会想到对 y y y进行排序，但是这样子空间是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的，过不了这个卡空间的题，那么我们考虑对 x x x进行排序。

设 f [ i ] [ 0 / 1 ] f[i][0/1] f[i][0/1]为 i i i号点起始，向左或向右延伸的方案数，那么我们每次添加一个新点一定是横坐标最大的，那么它只能放在第一个或者第二个，那么我们枚举这个点前面的点，如果它的纵坐标小于当前新加的点，那么当前点就是第一个点，我们把枚举点右边的点全部加入当前点的左边，如果它的纵坐标大于当前新加的点，枚举点就是第一个点，我们把当前点左边的点全部加入枚举点的右边，时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)。

#include<bits/stdc++.h>
#define file(s) freopen(s".in", "r", stdin), freopen(s".out", "w", stdout)
#define go(x, i) for(register int i = head[x]; i; i = nxt[i])
#define For(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++ i)
#define FOR(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i >= i##_end_; -- i)
#define debug(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define min(a, b) (a < b ? a : b)
#define max(a, b) (b < a ? a : b)
#define inf (0x3f3f3f3f)
#define INF (1e18)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define x first
#define y second
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef std::pair<ll, int> PLI;
typedef std::pair<int, int> PII;
typedef long double ldb;
typedef double db;
template<class T>inline bool chkmax(T &_, T __) {return _ < __ ? _ = __, 1 : 0;}
template<class T>inline bool chkmin(T &_, T __) {return _ > __ ? _ = __, 1 : 0;}
using namespace std;
const int N = 7e3 + 10;
int f[N][2], n, ans, mod;
struct Point {int x, y;bool operator < (const Point &T) const {return x < T.x;}
}A[N];
int main() {#ifdef ylsakioifile("refract");
#endifscanf("%d%d", &n, &mod); For(i, 1, n) scanf("%d%d", &A[i].x, &A[i].y); ans = mod - n; sort(A + 1, A + n + 1);For(i, 1, n) {f[i][0] = f[i][1] = 1;FOR(j, i - 1, 1) {if(A[i].y > A[j].y) (f[i][0] += f[j][1]) %= mod;if(A[j].y > A[i].y) (f[j][1] += f[i][0]) %= mod;}}For(i, 1, n) (ans += (f[i][0] + f[i][1]) % mod) %= mod;cout << ans << endl;return 0;
}

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