Leetcode1703. 得到连续 K 个 1 的最少相邻交换次数[C++题解]:难(货仓选址加强版+滑动窗口+前缀和)

文章目录

题目分析
题目链接

题目分析

首先需要明确一点：最优结果中1的相对位置和开始时不会改变。否则的话就是交换两个1，会徒劳增加交换次数。比如[1,0,0,0,0,0,1,1]，最后变成[0,0,0,0,0,1,1,1]，在变化过程中，哪个1在前哪个1在后是不会变的（不管0），即相对顺序不变。

问题变为，需要经过多少次移动，可以把k个分散的1变成k个连续的1（坐标连续）。原下标分别是a0,a1,...ak−1a_0,a_1,...a_{k-1}a0,a1,...ak−1分别移动到下标是x,x+1,x+2,...x+k−1x,x+1,x+2,...x+k-1x,x+1,x+2,...x+k−1（相对位置没变）的地方，使之移动次数最少，即求一个 x 使下式
d=∣a0−x∣+∣a1−(x+1)∣+....+∣ak−1−(x+k−1)∣d= |a_0-x|+|a_1-(x+1)|+....+|a_{k-1}-(x+k-1)|d=∣a0−x∣+∣a1−(x+1)∣+....+∣ak−1−(x+k−1)∣
最小

再转化一下，变成到点x的距离之和

d=∣a0−x∣+∣(a1−1)−x∣+∣(a2−2)−x∣....+∣(ak−1−(k−1)−x∣d= |a_0-x|+|(a_1-1)-x|+|(a_2-2)-x|....+|(a_{k-1}-(k-1)-x|d=∣a0−x∣+∣(a1−1)−x∣+∣(a2−2)−x∣....+∣(ak−1−(k−1)−x∣

令：
a0′=a0a1′=a1−1...ak−1′=ak−1−(k−1)a_0'= a_0 \\ a_1'=a_1 -1 \\ ... \\ a_{k-1}'= a_{k-1} - (k-1)a0′=a0a1′=a1−1...ak−1′=ak−1−(k−1)

这里的映射是ai−ia_i - iai−i,其中aia_iai是“1”在原序列里的下标，表示第i+1i+1i+1个"1"的下标，比如第1个“1”的下标记作a0a_0a0,此时i=0i=0i=0
就变成了d=∣a0′−x∣+∣a1′−x∣+∣a2′−x∣....+∣(ak−1′−x∣d= |a_0'-x|+|a_1'-x|+|a_2'-x|....+|(a_{k-1}'-x|d=∣a0′−x∣+∣a1′−x∣+∣a2′−x∣....+∣(ak−1′−x∣

这样就可以用绝对值不等式（母题：货仓选址）的模板，该式的最小值在 x 取a0′,a1′,...,ak−1′a_0',a_1',...,a_{k-1}'a0′,a1′,...,ak−1′的中位数的时候取。

下面还有1个问题，对于长度是k的区间[al,a2,amid..ar][a_l,a_2,a_{mid}..a_r][al,a2,amid..ar]，如何快速求出上面绝对值求和的最小值，最小值是x取到中位数amida_{mid}amid。求和分两段：amida_{mid}amid左边都是小于等于amida_{mid}amid的，右边都是大于等于它的。这样可以省去绝对值的计算。

左边求和：left = (amid−al)+(amid−al+1)+...+(amid−amid−1)=amid∗(mid−l)−(s[mid−1]−s[l−1])(a_{mid}-a_{l}) + (a_{mid}-a_{l+1})+...+(a_{mid}-a_{mid-1}) \\ =a_{mid}*(mid-l)-(s[mid-1]-s[l-1])(amid−al)+(amid−al+1)+...+(amid−amid−1)=amid∗(mid−l)−(s[mid−1]−s[l−1])，s为a序列的前缀和。

右边求和： right =(amid+1−amid)+....+(ar−amid)=s[r]−s[mid]−amid∗(r−mid)(a_{mid+1}-a_{mid})+....+(a_r - a_{mid})\\=s[r]-s[mid]-a_{mid}*(r-mid)(amid+1−amid)+....+(ar−amid)=s[r]−s[mid]−amid∗(r−mid)

所以，这个窗口内移动次数为 left + right .

以上只是一个窗口内的处理。我们需要不断维护滑动窗口，k个1是一个窗口。

ac代码

class Solution {public:int minMoves(vector<int>& nums, int k) {vector<int> a;for(int i=0;i< nums.size();i++){if(nums[i])  //  找出1a.push_back(i-a.size());  // 坐标映射 第m个数的下标为i: i- m}int n=a.size();//n表示1的个数typedef long long LL;vector<LL> s(n+1);//前缀和数组for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+a[i-1]; //下标从1开始LL res=1e18; //记录结果：最少移动次数//枚举所有窗口,窗口大小为k，这里枚举的是右端点for(int i=k;i<=n;i++){//左端点int l=i-k+1;//右端点int r=i;int mid = (l+r)/2;LL x = a[mid -  1] ; // for循环下标相当于从1开始，需要-1，因为遍历窗口的时候i=k，如果下标是从0开始的话，i应该为i= k-1.LL  left = x*(mid -l )-(s[mid-1 ] - s[l-1]);LL right = s[r]-s[mid] -x*(r-mid);res = min ( res , left+ right);}return res;}
};

下面是对于滑动窗口k 枚举左端点，只要注意好前缀和求和时候和下标的关系！！因为前缀和数组下标从1开始！

class Solution {public:int minMoves(vector<int>& nums, int k) {typedef long long LL;LL res =1e17;vector<int >a;for(int i=0;i<nums.size();i++)if(nums[i]) a.push_back(i-a.size());int n=a.size();//统计1的个数vector<LL> s(n+1);for(int i=1;i<=n;i++) s[i] = s[i-1] + a[i-1];//枚举滑动窗口左端点for(int i=0;i+k-1<n;i++){int l = i ;int r = i+k -1;int mid =  l+r >> 1;int x = a[mid] ;LL left = x *(mid - l) -(s[mid]-s[l]);LL right = s[r+1]- s[mid+1] - x*(r -mid);res = min ( res, left+right);}return res;}
};

题目链接

Leetcode1703. 得到连续 K 个 1 的最少相邻交换次数