【九省联考2018】秘密袭击【树形dp】【生成函数】【线段树合并】【多项式插值】

题意：nnn 个点的带点权的树，点权最大值为 www，求所有连通子图第 kkk 大权值之和模 641236412364123。

n,w≤1666n,w\leq 1666n,w≤1666，时限 5s。

idea 很好的题，可惜被暴力艹过去了。

首先如果点权只有 000 和 111，我们相当于求包含至少 kkk 个 111 的连通子图个数。可以设 f(u,k)f(u,k)f(u,k) 表示 uuu 为根的可空连通子图中有恰好 kkk 个 111 的数量，然后就是刻在 DNA 里的转移方程

f(u,k)⟵∑i=0kf(u,i)g(v,k−i)f(u,k)\longleftarrow\sum_{i=0}^kf(u,i)g(v,k-i)f(u,k)⟵i=0∑kf(u,i)g(v,k−i)

f(u,0)⟵f(u,0)+1f(u,0)\longleftarrow f(u,0)+1f(u,0)⟵f(u,0)+1

边界： f(u,valu)=1f(u,val_u)=1f(u,valu)=1

我们枚举值域，大于等于的设为 111，小于的设为 000，算出方案数乘上差值，就可以 O(n2w)\Omicron(n^2w)O(n2w) 踩标算了。

注意到这个转移方程是卷积的形式，所以可以写成生成函数

fu(x)=∏v∈son(u)fv(x)+1f_u(x)=\prod_{v\in son(u)}f_v(x)+1fu(x)=v∈son(u)∏fv(x)+1

然后你要求所有点的和，所以开个 ggg 顺便记一下

gu(x)=∑v∈son(u)gv(x)+fu(x)−1g_u(x)=\sum_{v\in son(u)}g_v(x)+f_u(x)-1gu(x)=v∈son(u)∑gv(x)+fu(x)−1

所有的生成函数都是 nnn 次的，所以考虑带 n+1n+1n+1 个点值进去算。因为不是 NTT 模数，所以只能带一般的点值最后再插值回来。

这样还是 O(n2w)\Omicron(n^2w)O(n2w) 的。带点值这步不好优化，但后面的枚举值域看起来可以优化一下。

可以动态 dp，但常数巨大，还没暴力跑得快。

注意到不同的阀值的计算过程是一样的，可以考虑用线段树合并维护所有阀值的答案。

开个长度为值域的线段树，我们在线段树的每个叶子记录这个阀值的 (f,g)(f,g)(f,g)，初值为 (0,0)(0,0)(0,0)。你需要维护以下操作：

开头的 fff 区间加和区间乘。
合并两棵线段树，fff 对应位置相乘， ggg 对应位置相加。
最后的 f←f+1,g←g+ff\leftarrow f+1,g\leftarrow g+ff←f+1,g←g+f。

手玩一个标记 (a,b,c,d)(a,b,c,d)(a,b,c,d) 表示 (f,g)⟵(af+b,cf+g+d)(f,g)\longleftarrow (af+b,cf+g+d)(f,g)⟵(af+b,cf+g+d)，就可以做了。

关于有懒标记的线段树合并：线段树合并的过程中两边有一边没有儿子时直接返回，这样 pushdown 次数和递归次数同阶，不影响复杂度。

最后插值即可。

复杂度 O(wnlog⁡w)\Omicron(wn\log w )O(wnlogw)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define MAXN 2005
using namespace std;
inline int read()
{int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans;
}
const int MOD=64123;
typedef long long ll;
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;}
vector<int> e[MAXN];
inline int qpow(int a,int p)
{int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;}return ans;
}
struct data
{int a,b,c,d;inline data(const int& a=1,const int& b=0,const int& c=0,const int& d=0):a(a),b(b),c(c),d(d){}
};
inline data operator *(const data& x,const data& y){return data((ll)x.a*y.a%MOD,((ll)y.a*x.b+y.b)%MOD,((ll)x.a*y.c+x.c)%MOD,((ll)x.b*y.c+x.d+y.d)%MOD);}
int n,k,w,val[MAXN];
int ch[MAXN<<5][2],cnt;
data tag[MAXN<<5];
inline void clear()
{for (int i=1;i<=cnt;i++) ch[i][0]=ch[i][1]=0,tag[i]=data();cnt=0;
}
inline void pushtag(int x,const data& v){tag[x]=tag[x]*v;}
inline void pushdown(int x)
{if (!ch[x][0]) ch[x][0]=++cnt;if (!ch[x][1]) ch[x][1]=++cnt;pushtag(ch[x][0],tag[x]),pushtag(ch[x][1],tag[x]);tag[x]=data();
}
int merge(int x,int y)
{if (!x||!y) return x|y;if (!ch[x][0]&&!ch[x][1]) swap(x,y);if (!ch[y][0]&&!ch[y][1]){tag[x]=tag[x]*data(tag[y].b,0,0,0);tag[x]=tag[x]*data(1,0,0,tag[y].d);return x;}pushdown(x),pushdown(y);ch[x][0]=merge(ch[x][0],ch[y][0]);ch[x][1]=merge(ch[x][1],ch[y][1]);return x;
}
void modify(int& x,int l,int r,int ql,int qr,data v)
{if (!x) x=++cnt;if (ql<=l&&r<=qr) return pushtag(x,v);if (qr<l||r<ql) return;int mid=(l+r)>>1;pushdown(x);modify(ch[x][0],l,mid,ql,qr,v),modify(ch[x][1],mid+1,r,ql,qr,v);
}
int querysum(int x,int l,int r)
{if (l==r) return tag[x].d;int mid=(l+r)>>1;pushdown(x);return add(querysum(ch[x][0],l,mid),querysum(ch[x][1],mid+1,r));
}
int rt[MAXN];
void dfs(int u,int f,int v)
{modify(rt[u],1,w,1,w,data(0,1,0,0));modify(rt[u],1,w,1,val[u],data(v,0,0,0));for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)if (e[u][i]!=f){dfs(e[u][i],u,v);rt[u]=merge(rt[u],rt[e[u][i]]);}modify(rt[u],1,w,1,w,data(1,1,1,0));
}
int calc(int v)
{clear();for (int i=1;i<=n;i++) rt[i]=0;dfs(1,0,v);return querysum(rt[1],1,w);
}
int ans[MAXN],s[MAXN],tmp[MAXN],f[MAXN];
int main()
{n=read(),k=read(),w=read();for (int i=1;i<=n;i++) val[i]=read();for (int i=1;i<n;i++){int u,v;u=read(),v=read();e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);}for (int v=1;v<=n+1;v++)ans[v]=calc(v);s[0]=1;for (int i=1;i<=n+1;i++){for (int j=i;j>=1;j--)s[j]=dec(s[j-1],(ll)i*s[j]%MOD);      s[0]=(ll)s[0]*(MOD-i)%MOD;}for (int i=1;i<=n+1;i++){int x=ans[i];for (int j=1;j<=n+1;j++) if (i!=j) x=(ll)x*qpow(dec(i,j),MOD-2)%MOD;tmp[0]=(ll)s[0]*qpow(MOD-i,MOD-2)%MOD;for (int j=1;j<=n+1;j++) tmp[j]=(ll)dec(tmp[j-1],s[j])*qpow(i,MOD-2)%MOD;for (int j=0;j<=n+1;j++) f[j]=(f[j]+(ll)x*tmp[j])%MOD;}int res=0;for (int i=k;i<=n;i++) res=add(res,f[i]);cout<<res;return 0;
}

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